(2002•海淀區(qū))已知:二次函數(shù)y=x2-kx+k+4的圖象與y軸交于點(diǎn)C,且與x軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)).若A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為整數(shù),
(1)確定這個(gè)二次函數(shù)的解析式并求它的頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)D的坐標(biāo)是(0,6),點(diǎn)P(t,0)是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),它可與點(diǎn)A重合,但不與點(diǎn)B重合.設(shè)四邊形PBCD的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)若點(diǎn)P與點(diǎn)A重合,得到四邊形ABCD,以四邊形ABCD的一邊為邊,畫一個(gè)三角形,使它的面積等于四邊形ABCD的面積,并注明三角形高線的長.再利用“等底等高的三角形面積相等”的知識(shí),畫一個(gè)三角形,使它的面積等于四邊形ABCD的面積(畫示意圖,不寫計(jì)算和證明過程).
【答案】
分析:(1)令y=0,不難得出方程的△>0;關(guān)鍵是方程的整數(shù)根,整除和奇偶性問題.根據(jù)(k-2+m)(k-2-m)=20得出k-2+m是k-2-m是同奇、同偶的兩數(shù)是解題的關(guān)鍵.
(由于k-2+m+k-2-m=2k-4,因此兩數(shù)的和為偶數(shù),而偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù),奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù),奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù),因此兩數(shù)必須為同奇同偶)
(本題也可用韋達(dá)定理來求)
(2)由于四邊形PBCD不一定是規(guī)則的四邊形,因此可用三角形OBC的面積-三角形ODP的面積來求.
(3)本題答案不唯一,只要正確都行.
解答:解:(1)依題意可設(shè)A(a,0),B(b,0);
令y=0,則a、b是x
2-kx+k+4=0的兩根.
于是△=(-k)
2-4(k+4)=k
2-4k-16=(k-2)
2-20>0,且a+b=k;
∵a、b是不等的正整數(shù),
∴k為正整數(shù),且(k-2)
2-20是一個(gè)整數(shù)的平方.
設(shè)(k-2)
2-m
2=20,
即(k-2+m)(k-2-m)=20,
注意到k-2+m是k-2-m是同奇、同偶的兩數(shù),且20是偶數(shù).
∴
;
,
;
,
解得:
;
;
;
,
∴k=8,
∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=x
2-8x+12,其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4,-4).
(2)∵y=x
2-8x+12,
∴此二次函數(shù)的圖形與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,12),與y軸的交點(diǎn)A(2,0),B(6,0).
又S
四邊形PBCD=S
△COB-S
△DOP,
∴S=
×12×6-
×6t,
∴S=36-3t(2≤t<6);
(3)∵AB=4,又S=30,
∴可設(shè)所畫三角形為△MAB,AB邊上的高為h.
∴S
△MAB=
×4×h,
∴h=15.
點(diǎn)評(píng):本題結(jié)合四邊形的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,有關(guān)函數(shù)和幾何圖形的綜合題目,要利用幾何圖形的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)把數(shù)與形有機(jī)的結(jié)合在一起,利用題中所給出的面積和周長之間的數(shù)量關(guān)系求解.
科目:初中數(shù)學(xué)
來源:2002年全國中考數(shù)學(xué)試題匯編《二次函數(shù)》(05)(解析版)
題型:解答題
(2002•海淀區(qū))已知:二次函數(shù)y=x2-kx+k+4的圖象與y軸交于點(diǎn)C,且與x軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)).若A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為整數(shù),
(1)確定這個(gè)二次函數(shù)的解析式并求它的頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)D的坐標(biāo)是(0,6),點(diǎn)P(t,0)是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),它可與點(diǎn)A重合,但不與點(diǎn)B重合.設(shè)四邊形PBCD的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)若點(diǎn)P與點(diǎn)A重合,得到四邊形ABCD,以四邊形ABCD的一邊為邊,畫一個(gè)三角形,使它的面積等于四邊形ABCD的面積,并注明三角形高線的長.再利用“等底等高的三角形面積相等”的知識(shí),畫一個(gè)三角形,使它的面積等于四邊形ABCD的面積(畫示意圖,不寫計(jì)算和證明過程).
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