Question

如圖，OC是∠AOB的角平分線，P是OC上一點，PE⊥OA交OA于E，PF⊥OB 交OB于F，Q是OC上的另一點，連接QE，QF．求證：QE=QF．

Answer 1

分析：通過角平分線OP的性質(zhì)、垂直的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理推知OP平分∠EPF，則由角平分線上的一點到兩邊的距離相等的性質(zhì)知OE=OF；然后根據(jù)全等三角形的判定定理SAS判定△OEQ≌△OFQ，所以全等三角形的對應(yīng)邊相等，即QE=QF．

解答：證明：∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴∠OEP=∠OFP=90°，
又∵∠AOC=∠BOC（角平分線的性質(zhì)），
∴∠OPE=∠OPF，（1分）
即OP平分∠EPF，
∴OE=OF，（4分）
在△OEQ和△OFQ中

OE=OF ∠EOQ=∠FOQ OQ=OQ(公共邊)

，
∴△OEQ≌△OFQ（SAS），（7分）
∴QE=QF．（8分）

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)．本題充分利用了角平分線上的一點到兩邊的距離相等的性質(zhì)．