【題目】如圖1,△ABC是等腰直角三角形,四邊形ADEF是正方形,D,F(xiàn)分別在AB,AC邊上,此時BD=CF,BD⊥CF成立.

(1)當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)θ(0°<θ<90°)時,如圖2,BD=CF成立嗎?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.
(2)當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°時,如圖3,延長BD交CF于點G.求證:BD⊥CF;
(3)在(2)小題的條件下,AC與BG的交點為M,當AB=4,AD= 時,求線段CM的長.

【答案】
(1)解:BD=CF成立.

理由:∵△ABC是等腰直角三角形,四邊形ADEF是正方形,

∴AB=AC,AD=AF,∠BAC=∠DAF=90°,

∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC,∠CAF=∠DAF﹣∠DAC,

∴∠BAD=∠CAF,

∵在△BAD和△CAF中,

,

∴△BAD≌△CAF(SAS),

∴BD=CF.


(2)證明:設(shè)BG交AC于點M,

∵△BAD≌△CAF,

∴∠ABM=∠GCM,

∵∠BMA=∠CMG,

∴△BMA∽△CMG,

∴∠BGC=∠BAC=90°,

∴BD⊥CF.


(3)解:過點F作FN⊥AC于點N,

∵在正方形ADEF中,AD=DE= ,

∴AE= =2,

∴AN=FN= AE=1.

∵在等腰直角△ABC中,AB=AC=4,

∴CN=AC﹣AN=3,BC= =4 ,

∴在Rt△FCN中,tan∠FCN= =

∴在Rt△ABM中,tan∠ABM= =tan∠FCN= ,

∴AM= AB= ,

∴CM=AC﹣AM=4﹣ =


【解析】(1)根據(jù)△ABC是等腰直角三角形,四邊形ADEF是正方形,根據(jù)角邊角關(guān)系證出△BAD≌△CAF,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等,即可證得BD=CF。
(2)先設(shè)BG交AC于點M,根據(jù)(1)證出的△BAD≌△CAF,可得∠ABM=∠GCM,又根據(jù)對頂角相等,得出△BMA∽△CMG,再根據(jù)根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等,可得∠BGC=∠BAC=90°,即可證出BD⊥CF。
(3)首先過點F作FN⊥AC于點N,利用勾股定理即可求得AE,BC的長,繼而求得AN,CN的長,又由等角的三角函數(shù)值相等,可求得AM的值,從而求出CM的值。

【考點精析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識點,需要掌握等腰三角形的兩個底角相等(簡稱:等邊對等角);正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
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如圖1,將線段A1A2本向右平移1個單位長度至B1B2,得到封閉圖形A1A2B2B1(即陰影部分),在圖2中,將折線A1A2A3向右平移1個單位長度至B1B2B3,得到封閉圖形A1A2A3B3B2B1(即陰影部分).

(1)在圖3中,請你類似地畫一條有兩個折點的折線,同樣向右平移1個單位長度,從而得到一個封閉圖形,并用陰影表示;

(2)請你分別寫出上述三個圖形中除去陰影部分后剩余部分的面積(設(shè)長方形水平方向長均為a,豎直方向長均為b) S1= ,S2= ,S3= ;

(3)如圖4,在一塊長方形草地上,有一條彎曲的小路(小路任何地方的水平寬度都是2個單位長度,長方形水平方向長為a,豎直方向長為b),則空白部分表示的草地面積是多少?

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(2)若CE=12,CF=5,求OC的長;

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(2)這天,丟棄3個塑料袋的家庭戶數(shù)占總戶數(shù)的________

(3)該校所在的居民區(qū)共有居民0.8萬戶,則該區(qū)一天丟棄的塑料袋有多少個.

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設(shè)(其中均為整數(shù)),則有

.這樣小明就找到了一種把部分的式子化為平方式的方法.

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均為正整數(shù)時,若,用含mn的式子分別表示,得   ,   ;

2)利用所探索的結(jié)論,找一組正整數(shù),填空:    (      )2;

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