Question

如圖是運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式火炬點(diǎn)燃方式在平面直角坐標(biāo)系中的示意圖，位于點(diǎn)O正上方2米處的發(fā)射裝置A可以向目標(biāo)點(diǎn)火炬盆C發(fā)射一個(gè)火球點(diǎn)燃火炬，該火球運(yùn)行的軌跡為一拋物線，當(dāng)火球運(yùn)行到距出發(fā)點(diǎn)A水平距離為12米時(shí)達(dá)到離地面最大高度20米（圖中B點(diǎn)）．火炬盆C距發(fā)射裝置A的水平距離為20米，在A點(diǎn)處測得目標(biāo)點(diǎn)火炬盆C的仰角為α，且tanα=

1

2

．
（1）求火球運(yùn)行軌跡的拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）說明按（1）中軌跡運(yùn)行的火球能否點(diǎn)燃目標(biāo)C？

Answer 1

分析：（1）本題是拋物線的問題，要充分運(yùn)用拋物線在直角坐標(biāo)系中的解析式解題，由已知得拋物線的頂點(diǎn)及經(jīng)過一點(diǎn)，可設(shè)拋物線解析式的頂點(diǎn)式．
（2）能，確定C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)已知條件，需要解直角三角形；作CF⊥x軸，垂足為F，把問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中解決．

解答：解：（1）由題意可知拋物線的頂點(diǎn)B坐標(biāo)為（12，20）可設(shè)火球運(yùn)行拋物線解析式為：
y=a（x-12）²+20，
把點(diǎn)A（0，2）代入解析式得：2=a（0-12）²+20，
解得：a=-

1

8

，
∴火球運(yùn)行軌跡的拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式為：
y=-

1

8

（x-12）²+20=-

1

8

x²+3x+2；

（2）設(shè)C（x₁，y₁），作CF⊥x軸，垂足為F，作AE⊥CF于E，連接AC，
則∠CAE=α，AE=20米，
∵tanα=

1

2

．
∴

CE

AE

=

1

2

，
∴CE=10，
∴CF=12，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為：（20，12，），
代入y=-

1

8

x²+3x+2得，左右相等，
所以點(diǎn)C在拋物線上，故能點(diǎn)燃目標(biāo)．

點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題．此題既是實(shí)際問題，又綜合了幾方面的知識(shí)，解這類問題，需要逐層分析，逐步解答，由易到難．