Question

在一次機(jī)器人測試中，要求機(jī)器人從A出發(fā)到達(dá)B處．如圖1，已知點(diǎn)A在O的正西方600cm處，B在O的正北方300cm處，且機(jī)器人在射線AO及其右側(cè)(AO下方)區(qū)域的速度為20cm/秒，在射線AO的左側(cè)(AO上方)區(qū)域的速度為10cm/秒．
(1) 分別求機(jī)器人沿A→O→B路線和沿A→B路線到達(dá)B處所用的時(shí)間(精確到秒)；(3分)
(2) 若∠OCB=45°，求機(jī)器人沿A→C→B路線到達(dá)B處所用的時(shí)間(精確到秒)；(3分)
(3) 如圖2,作∠OAD=30°，再作BE⊥AD于E,交OA于P．試說明：從A出發(fā)到達(dá)B處，機(jī)器人沿A→P→B路線行進(jìn)所用時(shí)間最短．(3分)
(參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732，≈2.236，≈2.449)

Answer 1

（1）67(秒)
（2）57(秒)
（3）機(jī)器人沿A→P→B路線行進(jìn)所用時(shí)間最短

(1)直接由速度、路程和時(shí)間的關(guān)系可求沿A→O→B路線行進(jìn)所用時(shí)間；由勾股定理求出AB的長即可求得沿A→B路線到達(dá)B處所用的時(shí)間。
（2）由銳角三角函數(shù)求出BC的長，即可求出沿A→C→B路線行進(jìn)所用時(shí)間。
（3）根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)即可求得。
解：(1) 沿A→O→B路線行進(jìn)所用時(shí)間為：600÷20+300÷10=60(秒)，
在Rt△OBA中，由勾股定理，得AB==300 (cm)。
∴沿A→B路線行進(jìn)所用時(shí)間為：300÷10≈300×2.236÷10≈67(秒)。
(2) 在Rt△OBC中,OB=300,∠OCB=45°，∴OC= OB=300cm，BC==300 (cm)。
∴AC=600－300=300(cm)。
∴沿A→C→B路線行進(jìn)所用時(shí)間為：AC÷20+BC÷10=300÷20+300÷10≈15+42.42≈57(秒)。
(3) 在AO上任取異于點(diǎn)P的一點(diǎn)P′，作P′E′⊥AD于E′，連結(jié)P′B，

在Rt△APE和Rt△AP′E′中，sin30°=，
∴EP=，E′P′=。
∴沿A→P→B路線行進(jìn)所用時(shí)間為：
AP÷20+PB÷10= EP÷10+PB÷10=(EP+PB)÷10=BE(秒)；
沿A→P′→B路線行進(jìn)所用時(shí)間為：
AP′÷20+P′B÷10=" E′P′÷10+P′B÷10=(E′P′+P′B)÷10="  (E′P′+P′B)(秒)。
連結(jié)BE′，則E′P′+P′B > BE′>BE，∴BE < (E′P′+P′B)。
∴ 沿A→P→B路線行進(jìn)所用時(shí)間，小于沿A→P′→B路線行進(jìn)所用時(shí)間，
即機(jī)器人沿A→P→B路線行進(jìn)所用時(shí)間最短。