Question

如圖，已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（2，m），B（-3，n）為兩動(dòng)點(diǎn)，其中m＞1，連接OA，OB，OA⊥OB，作BC⊥x軸于C點(diǎn)，AD⊥x軸于D點(diǎn)．
（1）求證：mn=6；
（2）當(dāng)S_△AOB=10時(shí)，拋物線經(jīng)過A，B兩點(diǎn)且以y軸為對稱軸，求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)直線AB交y軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作直線l交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，問是否存在直線l，使S_△POF：S_△QOF=1：2？若存在，求出直線l對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A、B的坐標(biāo)，可得OC、OD、BC、AD的長，由于OA⊥OB，可證得△BOC∽△OAD，根據(jù)相似三角形所得比例線段，即可證得所求的結(jié)論．
（2）欲求拋物線的解析式，需先求出A、B的坐標(biāo)；根據(jù)（1）的相似三角形，可得3OA=mOB，用OB表示出OA，代入△OAB的面積表達(dá)式中，可得到OB²的值，在Rt△BOC中，利用勾股定理可求得另外一個(gè)OB²的表達(dá)式，聯(lián)立兩式可得關(guān)于m、n的等式，結(jié)合（1）的結(jié)論即可求出m、n的值，從而確定A、B的坐標(biāo)和拋物線的解析式．
（3）求直線l的解析式，需先求出P、Q的坐標(biāo)，已知S_△POF：S_△QOF=1：2，由于兩三角形同底不等高，所以面積比等于高的比，即P、Q兩點(diǎn)橫坐標(biāo)絕對值的比，可設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩者的比例關(guān)系表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，由于點(diǎn)Q在拋物線的圖象上，可將其代入拋物線的解析式中，即可求得點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，進(jìn)而可利用待定系數(shù)法求得直線l的解析式．

解答：證明：（1）∵A，B點(diǎn)坐標(biāo)分別為（2，m），（-3，n），
∴BC=n，OC=3，OD=2，AD=m，
又∵OA⊥OB，易證△CBO∽△DOA，
∴

CB

DO

=

CO

DA

=

BO

OA

，
∴

n

2

=

3

m

，
∴mn=6．

解：（2）由（1）得，OA=

m

3

BO，又S_△AOB=10，
∴

1

2

OB•OA=10，
即BO•OA=20，
∴mBO²=60，
又∵OB²=BC²+OC²=n²+9，
∴m（n²+9）=60，
又∵mn=6①，
∴m（n²+9）=mn•n+9m=6n+9m=60，
∴2n+3m=20②，
∴①②聯(lián)立得，m=6（m=

2

3

不合題意，舍去），n=1；
∴A坐標(biāo)為（2，6），B坐標(biāo)為（-3，1），
易得拋物線解析式為y=-x²+10．

（3）直線AB為y=x+4，且與y軸交于F（0，4）點(diǎn)，
∴OF=4，
假設(shè)存在直線l交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，且使S_△POF：S_△QOF=1：2，如圖所示，
則有PF：FQ=1：2，作PM⊥y軸于M點(diǎn)，QN⊥y軸于N點(diǎn)，
∵P在拋物線y=-x²+10上，
∴設(shè)P坐標(biāo)為（t，-t²+10），
則FM=-t²+10-4=-t²+6，易證△PMF∽△QNF，
∴

PM

QN

=

MF

FN

=

PF

QF

=

1

2

，
∴QN=2PM=-2t，NF=2MF=-2t²+12，
∴ON=-2t²+8，
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（-2t，2t²-8），
Q點(diǎn)在拋物線y=-x²+10上，2t²-8=-4t²+10，
解得t=-

3

，(t=

3

舍去)，
∴P坐標(biāo)為（-

3

，7），Q坐標(biāo)為（2

3

，-2），
∴易得直線PQ為y=-

3

x+4；
根據(jù)拋物線的對稱性可得直線PQ的另解為y=

3

x+4．

點(diǎn)評：此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、圖形面積的求法以及用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的方法，在（3）題中，能夠?qū)⑷�角形的面積比轉(zhuǎn)化為P、Q兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的比例關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．