Question

如圖，直線y=-

3

3

x+k 與x軸、y軸分別交于點D、A兩點，與雙曲線y=

k

x

在第一象限交于B、C兩點，且AB•AC=4．
（1）求tan∠ADO的值； 
（2）求k的值．

Answer 1

分析：（1）先用k表示A點與D點坐標(biāo)，然后根據(jù)正切的定義求解；
（2）分別作BE⊥y軸于E，CF⊥y軸于F，設(shè)B點與C點的橫坐標(biāo)為m、n，利用直線與反比例函數(shù)有兩個交點得到-

3

3

x²+kx-k=0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得mn=

3

k，由tan∠ADO=

3

3

得∠ADO=30°，則∠ABE=∠ACF=30°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AE=

3

3

m，CF=

3

3

n，AB=

2 3

3

m，AC=

2 3

3

n，而AB•AC=4，則

2 3

3

m•

2 3

3

n=4，所以mn=3，然后計算k的值．

解答：解：（1）對于y=-

3

3

x+k，令x=0，則y=k；令y=0，則-

3

3

x+k=0，解得x=

3

k，
∴A點坐標(biāo)為（0，k），D點坐標(biāo)為（

3

k，0），
∴tan∠ADO=

OA

OD

=

k

3 k

=

3

3

；
（2）分別作BE⊥y軸于E，CF⊥y軸于F，如圖，
設(shè)B點與C點的橫坐標(biāo)為m、n，
由

y=- 3 3 x+k y= k x

得-

3

3

x²+kx-k=0，
∴mn=

3

k，
∵tan∠ADO=

3

3

，
∴∠ADO=30°，
∴∠ABE=∠ACF=30°，
∴AE=

3

3

m，CF=

3

3

n，
∴AB=2AE=

2 3

3

m，AC=2AF=

2 3

3

n，
∵AB•AC=4，
∴

2 3

3

m•

2 3

3

n=4
∴mn=3，
∴k=

mn

3

=

3

．

點評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點問題：反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)滿足兩函數(shù)的解析式．也考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．