Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c．
（1）若a=1，b=-3，且二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-2，15），求c的值；
（2）若a+c=1，b=2，且二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)在直線y=1與y=2之間，試說明這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸在直線x=1的右側(cè)；
（3）若a+b+c=0，a＞b＞c，且二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（m，-a），與x軸交于A、B兩點(diǎn)．請(qǐng)確定線段AB長的取值范圍，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由于a=1，b=-3，且二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-2，15），代入y=ax²+bx+c中即可得到關(guān)于c的方程，解方程即可求解；
（2）由a+c=1得到a=1-c，而對(duì)稱軸為直線x=-

b

2a

，又b=2，代入其中得到x=-

2

1-c

，而二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)在直線y=1與y=2之間，由此得到1＜c＜2，利用這個(gè)結(jié)論即可解決問題；
（3）設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），則x₁、x₂是方程ax²+bx+c=0的兩根，由求根公式得出x₁、x₂，根據(jù)AB=|x₂-x₁|求出線段AB長度的最小值

解答：解：（1）當(dāng)a=1，b=-3時(shí)，二次函數(shù)為y=x²-3x+c，
因?yàn)樵摵瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-2，15），
所以15=（-2）²-3×（-2）+c，
解得c=5；

（2）∵由題意1＜c＜2，
∴0＜c-1＜1，
∴

1

c-1

＞1，
由二次函數(shù)知其對(duì)稱軸x= -

b

2a

，
由b=2，a=1-c，則x=

1

c-1

，
∴二次函數(shù)知其對(duì)稱軸大于1；

（3）因?yàn)槎�次函�?shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（m，-a），
所以am²+bm+c+a=0，
所以q為方程am²+bm+c+a=0的根，
于是，△=b²-4a（a+c）≥0，
又a+b+c=0，所以△=b（3a-c）≥0，
又a＞b＞c，知a＞0，c＜0，
所以3a-c＞0，
所以b≥0．
設(shè)x₁=

-b+ b2-4ac

2a

，x₂=

-b- b2-4ac

2a

，
則AB之間的距離=

2 b2-4ac

2a

=

b2-4ac

a

=

a-c

a

=1-

c

a

＞1．
即線段AB的長＞1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的平移、拋物線交點(diǎn)坐標(biāo)與其解析式的組成的方程組的解的關(guān)系及等腰三角形的性質(zhì)與判定，也利用了三角函數(shù)的定義，綜合性比較強(qiáng)，定義學(xué)生的能力要求比較高，平時(shí)加強(qiáng)訓(xùn)練．