Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0），交y軸于點(diǎn)B．點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，且S_△ADB=1．
（1）求m的值；
（2）求線段OD的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)點(diǎn)E在直線AB上（點(diǎn)E與點(diǎn)B不重合），且∠BDO=∠EDA，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線解析式進(jìn)行計(jì)算即可求出m的值；
（2）根據(jù)三角形的面積求出AD的長(zhǎng)度，然后分點(diǎn)D在點(diǎn)A的左邊與右邊兩種情況得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離得到OD的長(zhǎng)度；
（3）找出點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)性作出∠BDO=∠EDA從而確定出點(diǎn)E的位置，再分點(diǎn)D的兩種情況利用待定系數(shù)法求出直線B′D的解析式，然后聯(lián)立直線AB的解析式，解方程組即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵直線y=-x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0），
∴0=-2+m，
∴m=2；

（2）∵直線y=-x+2交y軸于點(diǎn)B，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），
∴OB=2，
∵S_△ADB=

1

2

AD•OB=1，
∴AD=1，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0）或（3，0），
∴OD=1或OD=3；

（3）①當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0）時(shí)，如圖所示，
取點(diǎn)B′（0，-2），連接B′D并延長(zhǎng)，交直線BA于點(diǎn)E．
∵OB=OB′，AO⊥BB′于O，
∴OD為BB′的垂直平分線．
∴DB=DB′，
∴∠1=∠2．
又∵∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
設(shè)直線B′D的解析式為y=kx-2（k≠0），
∵直線B′D經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（1，0），
∴0=k-2，
∴k=2，
∴直線B′D的解析式為y=2x-2，
聯(lián)立得

y=-x+2 y=2x-2

，
解得

x= 4 3 y= 2 3 .

，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

4

3

，

2

3

）；
②當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，0）時(shí)，如圖所示，
取點(diǎn)B′（0，-2），連接B′D，交直線BA于點(diǎn)E，
同①的方法，可得∠1=∠2，直線B′D的解析式為y=

2

3

x-2，
聯(lián)立得

y= 2 3 x-2 y=-x+2

，
解得

x= 12 5 y=- 2 5 .

，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

12

5

，-

2

5

），
綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

4

3

，

2

3

）或（

12

5

，-

2

5

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求直線解析式，兩點(diǎn)間的距離，三角形的面積，A、D在x軸上的位置不明確，所以要注意分點(diǎn)D在點(diǎn)A的左右兩邊兩種情況討論求解．