【題目】如圖1:拋物線y=ax2+bx+3交x軸于點(diǎn)A、B,連接AC、BC,tan∠ABC=1,tan∠BAC=3.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖2,點(diǎn)P在第一象限的拋物線上,連接PC、PA,若點(diǎn)P橫坐標(biāo)為t,△PAC的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)S=3時(shí),點(diǎn)G為第二象限拋物線上一點(diǎn),連接PG,CH⊥PG于點(diǎn)H,連接OH,若tan∠OHG=,求GH的長(zhǎng).
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)S=t2+t;(3)GH=
【解析】
(1)根據(jù)解析式得到OC=3,再根據(jù)已知條件求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)即可求出解析式;
(2)根據(jù)點(diǎn)A、P的坐標(biāo)求出直線AP的解析式,得到直線與y軸交點(diǎn)R的坐標(biāo),即可求出S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)得到CP∥x軸,作CH⊥GP,作HM⊥CP,過(guò)點(diǎn)O作ON⊥CH交CH的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,分別求出CH、ON、CN,根據(jù)tan∠OHG=求出點(diǎn)H的坐標(biāo),根據(jù)直線PG求出點(diǎn)G的坐標(biāo),即可得到答案.
解:(1)由題意得c=3,∴OC=3,
∵tan∠ABC=1,∴OB=3,
∵tan∠BAC=3,∴OA=1,
∴點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為:(﹣1,0)、(3,0)、(0,3),
則拋物線的表達(dá)式為:y=a(x+1)(x﹣3),
將點(diǎn)C坐標(biāo)代入上式并解得:a=﹣1,
∴拋物線的表達(dá)式為:y=﹣x2+2x+3;
(2)點(diǎn)P(t,﹣t2+2t+3),點(diǎn)A(﹣1,0),
將點(diǎn)P、A坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式y=kx+b并解得:
直線PA的表達(dá)式為:y=(3﹣t)(x+1),
設(shè)直線AP交y軸于點(diǎn)R,則R(0,3﹣t),
S=CR×(xP﹣xA)=(3﹣3+t)(t+1)=t2+t;
(3)S=t2+t=3,解得:t=﹣3(舍去)或2,
∴點(diǎn)P(2,3),
∵點(diǎn)C(0,3),
連接CP,則CP∥x軸,
作CH⊥GP,則∠CPH=∠OCH=α,
作HM⊥CP,則∠CHM=∠HCO=α,
過(guò)點(diǎn)O作ON⊥CH交CH的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,
CP=2,OC=3,
CH=CPsinα=2sinα,ON=OCsinα=3sinα,CN=OCcosα=3cosα,
∵ON⊥CN,GH⊥CH,
∴∠HON=∠OHG,
∴tan∠HON==tan∠OHG=,
解得:tan,則sinα=,cosα=,
MH=CHcosα=2sinαcosα=,CM=CHsinα=,
∴點(diǎn)H(,);
設(shè)點(diǎn)G(m,﹣m2+2m+3),而點(diǎn)P(2,3),
由點(diǎn)G、P的坐標(biāo)得,直線PG表達(dá)式中的k值為:﹣m=﹣tanα=-,
∴點(diǎn)G(﹣,),
由點(diǎn)G、H的坐標(biāo)得,GH=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展,環(huán)境問(wèn)題越來(lái)越受到人們的關(guān)注.某校學(xué)生會(huì)為了了解垃圾分類知識(shí)的普及情況,隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生,調(diào)查結(jié)果分為“非常了解”“了解”“了解較少”“不了解”四類,并將調(diào)查結(jié)果繪制成下面兩幅統(tǒng)計(jì)圖.
(1)求:本次被調(diào)查的學(xué)生有多少名?補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.
(2)估計(jì)該校1200名學(xué)生中“非常了解”與“了解”的人數(shù)和是多少.
(3)被調(diào)查的“非常了解”的學(xué)生中有2名男生,其余為女生,從中隨機(jī)抽取2人在全校做垃圾分類知識(shí)交流,請(qǐng)利用畫樹(shù)狀圖或列表的方法,求恰好抽到一男一女的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與軸交于、兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),,,連接和.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上,當(dāng)的周長(zhǎng)最小時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形 ABCD 中,點(diǎn) E,F 分別在 BC,CD 邊上,且 CE=3,CF=4.若△AEF 是等邊三角形,則 AB 的長(zhǎng)為___.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中,給出了格點(diǎn)△ABC(頂點(diǎn)為網(wǎng)格線的交點(diǎn))及過(guò)格點(diǎn)的直線l.
(1)畫出△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的△A1B1C1;
(2)將△ABC向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,再向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,畫出平移后的△A2B2C2;
(3)以A、A1、A2為頂點(diǎn)的三角形中,tan∠A2AA1= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD為菱形,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)E,F是邊BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接EF,以EF為直徑作⊙O,交DC于D,G兩點(diǎn),AD分別于EF,GF交于I,H兩點(diǎn).
(1)求∠FDE的度數(shù);
(2)試判斷四邊形FACD的形狀,并證明你的結(jié)論;
(3)當(dāng)G為線段DC的中點(diǎn)時(shí),
①求證:FD=FI;
②設(shè)AC=2m,BD=2n,求⊙O的面積與菱形ABCD的面積之比.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)E在菱形ABCD的對(duì)角線BD上,連接AE,且AE=BE,⊙O是△ABE的外接圓,連接OB.
(1)求證:OB⊥BC;
(2)若BD=,tan∠OBD=2,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,點(diǎn)E,F(xiàn),G分別是等邊三角形ABC三邊AB,BC,CA上的動(dòng)點(diǎn),且始終保持AE=BF=CG,設(shè)△EFG的面積為y,AE的長(zhǎng)為x,y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為圖2所示,則等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為___.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)C,P均在⊙O上,且分布在直徑AB的兩側(cè),BE⊥CP于點(diǎn)E.
(1)求證:△CAB∽△EPB;
(2)若AB=10,AC=6,BP=5,求CP的長(zhǎng).
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