Question

如圖正方形ABCD中，E是BC邊的中點(diǎn)，AE與BD相交于F點(diǎn)，△DEF的面積是1，那么正方形ABCD的面積是

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．

Answer 1

分析：先設(shè)△BEF的面積是x，由于E是BC中點(diǎn)，那么S_△DBE=S_△DCE，易求S_正方形=4（1+x），又四邊形ABCD是正方形，那么
AD∥BC，AD=BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理的推論可得△BEF∽△DAF，于是S_△BEF：S_△DAF=（

BE

AD

）²，E是BC中點(diǎn)可知BE：AD=1：2，于是S_△DAF=4x，進(jìn)而可得S_正方形=S_△ABF+S_△BEF+S_△ADF+S_△DEF+S_△DCE=1+x+4x+1+1+x，等量代換可得4（1+x）=1+x+4x+1+1+x，解可求x，進(jìn)而可求正方形的面積．

解答：解：如右圖，設(shè)△BEF的面積是x，
∵E是BC中點(diǎn)，
∴S_△DBE=S_△DCE，
∴S_△BCD=2（1+x），
∴S_正方形=4（1+x），
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△BEF∽△DAF，
∴S_△BEF：S_△DAF=（

BE

AD

）²，
∵E是BC中點(diǎn)，
∴BE=CE，
∴BE：AD=1：2，
∴S_△DAF=4x，
∵S_△ABE=S_△BED，
∴S_△ABF=S_△DEF=1，
∴S_正方形=S_△ABF+S_△BEF+S_△ADF+S_△DEF+S_△DCE=1+x+4x+1+1+x，
∴4（1+x）=1+x+4x+1+1+x，
解得x=0.5，
∴S_正方形=4（1+x）=4（1+0.5）=6．

點(diǎn)評：本題考查了面積以及等積變換、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出正方形面積的兩種表示方式．