Question

已知矩形ABCD，點(diǎn)E﹑F分別在邊AD﹑CD上，且AF⊥BE于點(diǎn)G，AD=mAB，AD=nAE．
（1）如圖1，當(dāng)m=1，n=2時，則

AF

BE

=

1

，

DF

CF

=

1

；
（2）在（1）的條件下，連接CG，求證：CG=CB；
（3）如圖2，對于矩形ABCD，若CG=CB，則m﹑n必滿足的數(shù)量關(guān)系是

n=2m²

．

Answer 1

分析：（1）由AF⊥BE得到∠AGB=90°，根據(jù)等角的余角相等得∠ABG=∠GAE，根據(jù)相似的判定方法得到Rt△ABE∽Rt△DAF，則

AF

BE

=

AD

AB

=

DF

AE

，
然后利用AD=AB得

AF

BE

=1，DF=AE，再利用AD=2AE得AB=2DF，即DC=2DF，所以

DF

CF

=1；
（2）作CH⊥BG于H，利用正切的定義得tan∠ABE=

AE

AB

=

1

2

，而∠ABE=∠BCH，所以tan∠BCH=

1

2

=

BH

CH

，根據(jù)“AAS”可判斷Rt△ABG≌Rt△BCH，
BG=CH，然后根據(jù)等腰三角形的判定可得到CB=CG；
（3）作CH⊥BG于H，由CB=CG得到BG=2BH，根據(jù)有兩組角分別相等的兩三角形相似易得Rt△BCH∽Rt△EBA∽Rt△ABG，則

BH

AE

=

HC

AB

，

HC

BG

=

BC

AB

，
由AD=mAB，AD=nAE得到BC=mAB，AB：AE=n：m，所以

HC

BH

=

AB

AE

=

n

m

，

HC

BG

=

HC

2BH

=m，即

HC

BH

=2m，然后經(jīng)過代換可得m與n的關(guān)系．

解答：（1）解：∵AF⊥BE，
∴∠AGB=90°，
∴∠BAG+∠ABG=90°，
∵∠BAG+∠GAE=90°，
∴∠ABG=∠GAE，
∴Rt△ABE∽Rt△DAF，
∴

AF

BE

=

AD

AB

=

DF

AE

，
∵AD=AB，
∴

AF

BE

=1，DF=AE，
∵AD=2AE，
∴AB=2DF，即DC=2DF，
∴

DF

CF

=1；
（2）證明：作CH⊥BG于H，如圖1，
∵tan∠ABE=

AE

AB

=

1

2

，
而∠ABE=∠BCH，
∴tan∠BCH=

1

2

=

BH

CH

，
∵AB=BC，
∴Rt△ABG≌Rt△BCH，
∴BG=CH，
∴BH=

1

2

BG，
∴△BCG為等腰三角形，
∴CB=CG；
（3）解：作CH⊥BG于H，如圖2，
∵CB=CG，
∴BG=HG，即BG=2BH，
易證得Rt△BCH∽Rt△EBA∽Rt△ABG，
∴

BH

AE

=

HC

AB

，

HC

BG

=

BC

AB

，
∵AD=mAB，AD=nAE．
∴BC=mAB，AB：AE=n：m，
∴

HC

BH

=

AB

AE

=

n

m

，

HC

BG

=

HC

2BH

=m，即

HC

BH

=2m，
∴

n

m

=2m，
∴n=2m²．
故答案為1，1；n=2m²．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組角分別相等的兩三角形相似；相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)．