Question

如圖，在正方形ABCD中，E為線段CD上一點，且DE=3CE，M、N分別是AD、AE的中點，點F在CD的延長線上，且∠DMF=∠DAE．
（1）求cos∠DAE的值；
（2）求證：四邊形MNEF是等腰梯形．

Answer 1

解：（1）在正方形ABCD中，設(shè)DC=4a，
∵DE=3CE，
∴DE=3a，
∴在Rt△ADE中，AE=5a，
∴cos∠DAE==；
（2）∵M、N分別是AD、AE的中點，
∴MN∥DE且MN=DE，
∴∠AMN=90°．
在△AMN和△MDF中，有∠AMN=∠MDF=90°，AM=MD，∠DAE=∠DMF，
∴△AMN≌△MDF，
∴MF=AN，
又AN=NE，∴MF=NE，
又MN∥EF且MN≠EF，
∴四邊形MNEF是等腰梯形．
分析：（1）根據(jù)題意，設(shè)DC=4a，可得DE=3a，根據(jù)勾股定理得AE=5a，從而可求cos∠DAE的值；
（2）由三角形的中位線定理得MN∥DE且MN=DE，∠AMN=90°，再根據(jù)ASA證明△AMN≌△MDF，所以MF=AN，又AN=NE，所以MF=NE，又MN∥EF且MN≠EF，即四邊形MNEF是等腰梯形．
點評：本題考查了等腰梯形的判定、正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、解直角三角形等知識，屬于中等難度．