Question

如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D在⊙O上，且AD=CD，如果tanC=，BC=1．求AD長(zhǎng)？

Answer 1

解：連接OD．
∵AD=CD，
∴∠A=∠C，
∵tanC=，
∴∠A=∠C=30°，
∴∠ADC=180°-∠C-∠A=180°-30°-30°=120°，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO=30°，
∴∠CDO=∠ADC-∠ADO=120°-30°=90°，
在Rt△DOC中，
∵∠C=30°，
∴OD=OC，
∵OD=OB，
∴OD=DB=BC=1，
∴OC=2，
∴CD=OC•cos30°=2×=，
∴AD=CD=．
分析：連接OD，先由AD=CD可知∠A=∠C，再根據(jù)tanC=可求出∠C的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理可求出∠ADC的度數(shù)，再由OA=OD可求出∠CDO的度數(shù)，進(jìn)而可判斷出△ODC是直角三角形，再根據(jù)銳角直角三角形的性質(zhì)可求出OD及CD的長(zhǎng)，即可得出AD的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．