Question

已知：如圖，在△ABC中，BC=AC，以BC為直徑的⊙O與邊AB相交于點D，DE⊥AC，垂足為點E．
（1）判斷DE與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）若DE的長為2，cosB=，求⊙O的半徑．

Answer 1

解：（1）DE是⊙O的切線．理由如下：
連接OD、CD．
∵BC是直徑，
∴∠CDB=90°（直徑所對的圓周角是直角）．
又∵BC=AC，
∴點D是AB的中點．
∵點O是BC的中點，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半徑，
∴DE是⊙O的切線；

（2）∵BC=AC（已知），
∴∠B=∠A（等邊對等角），
∴cosB=cosA=．
∵cosA==，DE=2，
∴AD=3（勾股定理），
∴BD=AD=3[由（1）知，點D是線段AB的中點]．
∵cosB==，∴BC=9，
∴⊙O的半徑為．
分析：（1）DE是⊙O的切線．連接OD．欲證DE是⊙O的切線，只需證明DE⊥OD即可；
（2）根據等腰三角形的“兩個底角相等”的性質推知∠B=∠A，即cosB=cosA=．然后在直角三角形BCD和直角三角形ADE中利用余弦三角函數的定義、勾股定理來求直徑BC的長度即可．
點評：本題考查了切線的判定，圓周角定理、解直角三角形等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．