(2009•衡陽(yáng))如圖,AB是⊙O的直徑,弦BC=2cm,∠ABC=60度.

(1)求⊙O的直徑;
(2)若D是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接CD,當(dāng)BD長(zhǎng)為多少時(shí),CD與⊙O相切;
(3)若動(dòng)點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)沿著AB方向運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F以1cm/s的速度從B點(diǎn)出發(fā)沿BC方向運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0<t<2),連接EF,當(dāng)t為何值時(shí),△BEF為直角三角形.
【答案】分析:(1)根據(jù)已知條件知:∠BAC=30°,已知AB的長(zhǎng),根據(jù)直角三角形中,30°銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得AB的長(zhǎng),即⊙O的直徑;
(2)根據(jù)切線的性質(zhì)知:OC⊥CD,根據(jù)OC的長(zhǎng)和∠COD的度數(shù)可將OD的長(zhǎng)求出,進(jìn)而可將BD的長(zhǎng)求出;
(3)應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論,當(dāng)EF⊥BC時(shí),△BEF為直角三角形,根據(jù)△BEF∽△BAC,可將時(shí)間t求出;
當(dāng)EF⊥BA時(shí),△BEF為直角三角形,根據(jù)△BEF∽△BCA,可將時(shí)間t求出.
解答:解:(1)∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°;
∵∠ABC=60°,
∴∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=30°;
∴AB=2BC=4cm,即⊙O的直徑為4cm.

(2)如圖(1)CD切⊙O于點(diǎn)C,連接OC,則OC=OB=×AB=2cm.
∴CD⊥CO;∴∠OCD=90°;
∵∠BAC=30°,
∴∠COD=2∠BAC=60°;
∴∠D=180°-∠COD-∠OCD=30°;
∴OD=2OC=4cm;
∴BD=OD-OB=4-2=2(cm);
∴當(dāng)BD長(zhǎng)為2cm,CD與⊙O相切.

(3)根據(jù)題意得:
BE=(4-2t)cm,BF=tcm;
如圖(2)當(dāng)EF⊥BC時(shí),△BEF為直角三角形,此時(shí)△BEF∽△BAC;
∴BE:BA=BF:BC;
即:(4-2t):4=t:2;
解得:t=1;
如圖(3)當(dāng)EF⊥BA時(shí),△BEF為直角三角形,此時(shí)△BEF∽△BCA;
∴BE:BC=BF:BA;
即:(4-2t):2=t:4;
解得:t=1.6;
∴當(dāng)t=1s或t=1.6s時(shí),△BEF為直角三角形.
點(diǎn)評(píng):本題考查圓周角定理、切線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用能力.在求時(shí)間t時(shí)應(yīng)分情況進(jìn)行討論,防止漏解.
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B.BC中點(diǎn)
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