Question

如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，點(diǎn)E在AC上，BE交CD于點(diǎn)G，EF⊥BE交AB于點(diǎn)F，
（1）如圖1：若EA=CE，探索線段EF與EG的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）如圖2：若EA=2CE，探索線段EF與EG的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）若EA=kCE，探索線段EF與EG的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）作EH⊥CD，EQ⊥AB，利用AAS先證△AEQ≌△ECH，易得EQ=EH，把EQ=EH作為一個(gè)條件，再利用ASA易證Rt△EFQ≌Rt△EGH，從而有EF=EG；
（2）作EH⊥CD，EQ⊥AB，先證△EFQ∽△EGH，易得=，再證△AQE∽△EHC，那么==，等量代換易得=2，于是EF=2EG；
（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)論易得EF=kEG．
解答：證明：作EH⊥CD，EQ⊥AB，
∵AC=BC，CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠ADC=90°，∠A=∠ACD=45°，
∵EH⊥CD，EQ⊥AB，
∴∠AQE=∠EHC=90°，
又∵EA=CE，
∴△AEQ≌△ECH，
∴EQ=EH，
∵EH⊥CD，EQ⊥AB，CD⊥AB，
∴四邊形EQDH是矩形，
∴∠QEH=90°，
∴∠FEQ=∠GEH=90°-∠QEB，
又∵∠EQF=∠EHG=90°，EQ=EH，
∴Rt△EFQ≌Rt△EGH，
∴EF=EG；
（2）作EH⊥CD，EQ⊥AB（如圖2），
∵EH⊥CD，EQ⊥AB，CD⊥AB，
∴四邊形EQDH是矩形，
∴∠QEH=90°，
∴∠FEQ=∠GEH=90°-∠QEB，
又∵∠EQF=∠EHG=90°，
∴△EFQ∽△EGH，
∴=，
∵AC=BC，CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，∠A=∠ACD=45°，
∵EH⊥CD，EQ⊥AB，
∴∠AQE=∠EHC=90°，
∴△AQE和△EHC是等腰直角三角形，
∴△AQE∽△EHC，
∴==，
∴=2，
∴EF=2EG；
（3）EF=kEG．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形和相似三角形，并且證明四邊形EQDH是矩形．