如圖,在直角坐標系中有一個半徑為r的圓A,圓心A在x軸的正半軸上,從坐標精英家教網(wǎng)原點O向圓A作切線,切點是B.
(1)如果OB=3
3
,OA與半徑r的差是3,求圓A的半徑r,點A的坐標及∠AOB的正弦值;
(2)設(shè)∠AOB=α,在圖中確定一個與2α大小相等的角(可以添加輔助線),并說明理由;
(3)在(2)的基礎(chǔ)上,試探究sin2α與2sinα是否相等.如果相等,請說明理由;如果不相等,請你找出它們之間正確的關(guān)系式.
分析:(1)根據(jù)題意設(shè)出圓的半徑為r,根據(jù)切線的性質(zhì),勾股定理即可推出r的長度,即可推出A點的坐標,
(2)作輔助線,取OA的中點D,過點D作OA的垂線,交OB于點C,連接AC,則OC=AC,推出∠ACB=∠AOC+∠CAO=2α,
(3)根據(jù)(1)和(2)推出的結(jié)論,即得:sinα=
AB
OA
,cosα=
OB
OA
,sin2α=
AB
AC
,然后根據(jù)△ABO∽△CDO,推出OC=
OD•OA
OB
,由OD=
1
2
OA
,推出sin2α=2•
OB
OA
AB
OA
=2cosα•sinα.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)AB=r,OB=3
3
,OA=r+3,
∵OB與圓A相切,
∴AB⊥BO,
∴∠ABO=90°,
在Rt△OAB中,OA2=AB2+OB2,
(r+3)2=r2+(3
3
)2
,
∴r=3,
∴A(6,0),
sin∠AOB=
AB
OA
=
1
2
,

(2)如圖,取OA的中點D,過點D作OA的垂線,交OB于點C,連接AC,
∵DC是OA的垂直平分線,
∴OC=AC,
∴∠COA=∠CAO=α,
∴∠ACB=∠AOC+∠CAO=2α.

(3)由(1)可知∠B=90°,
∴在Rt△ABO中sinα=
AB
OA
,cosα=
OB
OA
,
由(2)可知DC⊥OA,
∴∠CDO=90°在Rt△ABC中sin2α=
AB
AC
,
在Rt△ABO和Rt△CDO中,∠O=∠O,∠CDO=∠B,
∴△ABO∽△CDO,
OD
OB
=
OC
OA
,
OC=
OD•OA
OB
,
OD=
1
2
OA
,且OC=AC,
AC=
1
2
OA•OA
OB
=
OA2
2OB
,
sin2α=
AB
AC
=
AB
OA2
2OB
=
2OB•AB
OA2
=2•
OB
OA
AB
OA
=2cosα•sinα.
點評:本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì),解直角三角形,切線的性質(zhì),勾股定理的運用,全等三角形的判定與性質(zhì),關(guān)鍵在于熟練并正確地運用各性質(zhì)定理,認真進行等量代換.
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18、如圖,在直角坐標系中,已知點A(-3,0),B(0,4),對△OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換,依次得到三角形①、②、③、④…,則三角形⑦的直角頂點的坐標為
(24,0)

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(1)在圖中畫出線段OP′;
(2)求P′的坐標和
PP′
的長度.

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如圖,在直角坐標系中,O為原點.反比例函數(shù)y=
6
x
的圖象經(jīng)過第一象限的點A,點A的縱坐標是橫坐標的
3
2
倍.
(1)求點A的坐標;
(2)如果經(jīng)過點A的一次函數(shù)圖象與x軸的負半軸交于點B,AC⊥x軸于點C,若△ABC的面積為9,求這個一次函數(shù)的解析式.
(3)點D在反比例函數(shù)y=
6
x
的圖象上,且點D在直線AC的右側(cè),作DE⊥x軸于點E,當△ABC與△CDE相似時,求點D的坐標.

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如圖,在直角坐標系中,△ABC的三個頂點的坐標分別為A(-6,0),B(-4,6),C(0,2).畫出△ABC的兩個位似圖形△A1B1C1,△A2B2C2,同時滿足下列兩個條件:
(1)以原點O為位似中心;
(2)△A1B1C1,△A2B2C2與△ABC的面積比都是1:4.(作出圖形,保留痕跡,標上相應字母)

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(1)△AOB的面積是
6
6

(2)三角形(2013)的直角頂點的坐標是
(8052,0)
(8052,0)

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