Question

如圖①、②、③中，點E、D分別是正△ABC、正四邊形ABCM、正五邊形ABCMN中以C點為頂點的相鄰兩邊上的點，且BE=CD，DB交AE于P點．
（1）求圖①中，∠APD的度數(shù)

 

；
（2）圖②中，∠APD的度數(shù)為

 

，圖③中，∠APD的度數(shù)為

 

；
（3）根據(jù)前面探索，你能否將本題推廣到一般的正n邊形情況？若能，寫出推廣問題和結論；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由觀察圖形可以看出∠APD是△APB的一個外角，∠APD=∠BAE+∠ABD．又可得出△ABE≌△BCD，由此便可求出∠APD的度數(shù)，∠APD=∠ABP+∠BAE=∠ABP+∠CBD=∠ABE=60°．
（2）∠APD易證等于∠M，即等于多邊形的內角．
（3）點E、D分別是正n邊形ABCM中以C點為頂點的相鄰兩邊上的點，且BE=CD，BD與AE交于點P，∠APD等于正n邊形的內角，就可以求出．

解答：解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCD=60°．
∵BE=CD，
∴△ABE≌△BCD．
∴∠BAE=∠CBD．
∴∠APD=∠ABP+∠BAE=∠ABP+∠CBD=∠ABE=60°．

（2）同理可證：△ABE≌△BCD，
∴∠AEB+∠DBC=180°-90°=90°，
∴∠APD=∠BPE=180°-90°=90°；
△ABE≌△BCD，
∴∠AEB+∠DBC=180°-108°=72°，
∴∠APD=∠BPE=180°-（∠AEB+∠DBC）=180°-72°=108°．

（3）能．如圖，點E、D分別是正n邊形ABCM中以C點為頂點的相鄰兩邊上的點，
且BE=CD，BD與AE交于點P，則∠APD的度數(shù)為

(n-2)180°

n

．

點評：此題主要考查三角形全等的判定的應用，三角形外角的性質等知識，本題有一定的難度，特別是最后一問，要注意思考．