如圖，拋物線y=ax2+b與x軸交于點(diǎn)A、B，且A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，1）．
（1）求拋物線的解析式，并求出點(diǎn)B坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)B作BD∥CA交拋物線于點(diǎn)D，連接BC、CA、AD，求四邊形ABCD的周長(zhǎng)；（結(jié)果保留根號(hào)）
（3）在x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PE垂直于x軸，垂足為點(diǎn)E，使以B、P、E為頂點(diǎn)的三角形與△CBD相似？若存在請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，點(diǎn)B坐標(biāo)可由對(duì)稱性質(zhì)得到，或令y=0，由解析式得到；
（2）關(guān)鍵是求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后利用勾股定理分別求出四邊形ABCD四個(gè)邊的長(zhǎng)度；
（3）本問(wèn)為存在型問(wèn)題．可以先假設(shè)存在，然后按照題意條件求點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果能求出則點(diǎn)P存在，否則不存在．注意三角形相似有兩種情形，需要分類討論．
解答：解：（1）∵點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)C（0，1）在拋物線y=ax2+b上，
∴，解得：a=-1，b=1，
∴拋物線的解析式為：y=-x2+1，
拋物線的對(duì)稱軸為y軸，則點(diǎn)B與點(diǎn)A（1，0）關(guān)于y軸對(duì)稱，∴B（-1，0）．

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)A（1，0），C（0，1）的直線解析式為y=kx+b，可得：
，解得k=-1，b=1，∴y=-x+1．
∵BD∥CA，∴可設(shè)直線BD的解析式為y=-x+n，
∵點(diǎn)B（-1，0）在直線BD上，∴0=1+n，得n=-1，
∴直線BD的解析式為：y=-x-1．
將y=-x-1代入拋物線的解析式，得：-x-1=-x2+1，解得：x1=2，x2=-1，
∵B點(diǎn)橫坐標(biāo)為-1，則D點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，
D點(diǎn)縱坐標(biāo)為y=-2-1=-3，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-3）．
如答圖①所示，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥x軸于點(diǎn)N，則DN=3，AN=1，BN=3，
在Rt△BDN中，BN=DN=3，由勾股定理得：BD=；
在Rt△ADN中，DN=3，AN=1，由勾股定理得：AD=；
又OA=OB=OC=1，OC⊥AB，由勾股定理得：AC=BC=；
∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)為：AC+BC+BD+AD=+++=+．

（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，則△BPE與△CBD相似有兩種情形：
（I）若△BPE∽△BDC，如答圖②所示，
則有，即，∴PE=3BE．
設(shè)OE=m（m＞0），則E（-m，0），BE=1-m，PE=3BE=3-3m，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-m，3-3m）．
∵點(diǎn)P在拋物線y=-x2+1上，
∴3-3m=-（-m）2+1，解得m=1或m=2，
當(dāng)m=1時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，故舍去；當(dāng)m=2時(shí)，點(diǎn)E在OB左側(cè)，點(diǎn)P在x軸下方，不符合題意，故舍去．
因此，此種情況不存在；
（II）若△EBP∽△BDC，如答圖③所示，
則有，即，∴BE=3PE．
設(shè)OE=m（m＞0），則E（m，0），BE=1+m，PE=BE=（1+m）=+m，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，+m）．
∵點(diǎn)P在拋物線y=-x2+1上，
∴+m=-（m）2+1，解得m=-1或m=，
∵m＞0，故m=1舍去，∴m=，
點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為：+m=+×=，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．
綜上所述，存在點(diǎn)P，使以B、P、E為頂點(diǎn)的三角形與△CBD相似，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．
點(diǎn)評(píng)：本題是代數(shù)幾何綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等重要知識(shí)點(diǎn)．第（2）問(wèn)的解題要點(diǎn)是求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，第（3）問(wèn)的解題要點(diǎn)是分類討論．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

8、如圖，直線y=ax+b與拋物線y=ax2+bx+c的圖象在同一坐標(biāo)系中可能是（　　）

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，拋物線y1=-ax2-ax+1經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-
1
2
，
9
8
），且與拋物線y2=ax2-ax-1相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求a值；
（2）設(shè)y1=-ax2-ax+1與x軸分別交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊），y2=ax2-ax-1與x軸分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊），觀察M，N，E，F(xiàn)四點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出一條正確的結(jié)論，并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明；
（3）設(shè)A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別記為xA，xB，若在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)Q（x，0），且xA≤x≤xB，過(guò)Q作一條垂直于x軸的直線，與兩條拋物線分別交于C，D精英家教網(wǎng)兩點(diǎn)，試問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí)，線段CD有最大值，其最大值為多少？

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，拋物線y=-ax2+ax+6a交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交x軸正半軸于點(diǎn)B，交y軸正半軸于點(diǎn)D，精英家教網(wǎng)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線上一點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1．
（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求證：四邊形ABCD的等腰梯形；
（3）如果∠CAB=∠ADO，求α的值．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知：如圖，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，與y軸相交于點(diǎn)A，直線y=ax+3與y軸也交于點(diǎn)A，矩形ABCO的頂點(diǎn)B在精英家教網(wǎng)此拋物線上，矩形面積為12，
（1）求該拋物線的對(duì)稱軸；
（2）⊙P是經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)圓，當(dāng)⊙P與y軸相交，且在y軸上兩交點(diǎn)的距離為4時(shí)，求圓心P的坐標(biāo)；
（3）若線段DO與AB交于點(diǎn)E，以點(diǎn)D、A、E為頂點(diǎn)的三角形是否有可能與以點(diǎn)D、O、A為頂點(diǎn)的三角形相似，如果有可能，請(qǐng)求出點(diǎn)D坐標(biāo)及拋物線解析式；如果不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知：如圖，拋物線y=ax2+ax+c與y軸交于點(diǎn)C（0，-2），精英家教網(wǎng)與x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）M是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，N是線段OC上一動(dòng)點(diǎn)，且ON=2OM，分別連接MC、MN．當(dāng)△MNC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；
（3）若平行于x軸的動(dòng)直線與該拋物線交于點(diǎn)P，與線段AC交于點(diǎn)F，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，0）．問(wèn)：是否存在直線l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案