Question

（2002•哈爾濱）如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，且當(dāng)x=0和x=2時，y的值相等．直線y=3x-7與這條拋物線相交于兩點，其中一點的橫坐標(biāo)是4，另一點是這條拋物線的頂點M．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）P為線段BM上一點，過點P向x軸引垂線，垂足為Q．若點P在線段BM上運動（點P不與點B、M重合），設(shè)OQ的長為t，四邊形PQAC的面積為S．求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；
（3）在線段BM上是否存在點N，使△NMC為等腰三角形？若存在，請求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)x=0和x=2時，y的值相等，可知拋物線的對稱軸為x=1，將x=1代入直線的解析式中即可求出拋物線頂點的坐標(biāo)，根據(jù)直線的解析式還可求出另一交點的坐標(biāo)，可用頂點式二次函數(shù)通式來設(shè)拋物線的解析式，然后將另一交點的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出二次函數(shù)的解析式．
（2）由于四邊形QACP不是規(guī)則的四邊形，因此可將其分成直角三角形AOC和直角梯形QOCP兩部分進(jìn)行計算．先求出直線BM的解析式，然后將x=t代入直線BM的解析式中即可求出QP的長，然后根據(jù)梯形的面積計算公式即可求出梯形QOCP的面積．然后根據(jù)四邊形QACP的面積計算方法即可得出S，t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）可分三種情況進(jìn)行討論：
①NM=MC；②NM=NC；③MC=NC．可根據(jù)直線BM的解析式設(shè)出N點的坐標(biāo)，然后用坐標(biāo)系中兩點間的距離公式表示出各線段的長，根據(jù)上面不同的等量關(guān)系式可得出不同的方程，經(jīng)過解方程即可得出N點的坐標(biāo)．
解答：解：（1）由題意可知：拋物線的對稱軸為x=1．
當(dāng)x=1時，y=3x-7=-4，因此拋物線的頂點M的坐標(biāo)為（1，-4）．
當(dāng)x=4時，y=3x-7=5，因此直線y=3x-7與拋物線的另一交點為（4，5）．
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）²-4，
則有：a（4-1）²-4=5，a=1．
∴拋物線的解析式為：y=x²-2x-3．

（2）根據(jù)（1）的拋物線可知：A（-1，0）B（3，0）C（0，-3）；
易知直線BM的解析式為y=2x-6；
當(dāng)x=t時，y=2t-6；
因此PQ=6-2t；
∴S_{四邊形PQAC}=S_梯形QPCO+S_△AOC=×（3+6-2t）×t+×3
即：S_{四邊形PQAC}=-t²+t+（1＜t＜3）．

（3）假設(shè)存在這樣的點N，使△NMC為等腰三角形．
∵點N在BM上，不妨設(shè)N點坐標(biāo)為（m，2m-6），
則CM²=1²+1²=2，CN²=m²+[3-（6-2m）]²，或CN²=m²+[（6-2m）-3]²．
MN²=（m-1）²+[4-（6-2m）]²．
△NMC為等腰三角形，有以下三種可能：
①若CN=CM，則m²+[（6-2m）-3]²=2，
∴m₁=，m₂=1（舍去）．
∴N（，-）．
②若MC=MN，則（m-1）²+[4-（6-2m）]²=1²+1²．
∴m=1±．
∵1＜m＜3，
∴m=1-舍去．
∴N（1+，-4）．
③若NC=NM，則m²+[3-（6-2m）]²=（m-1）²+[4-（6-2m）]²．
解得m=2．
∴N（2，-2）．
故假設(shè)成立．
綜上所述，存在這樣的點N，使△NMC為等腰三角形．且點N的坐標(biāo)分別為：
N₁（，-），N₂（1+，-4），N₃（2，-2）．
點評：本題主要考查了二次函數(shù)解析式、圖形面積的求法、函數(shù)圖象的交點、等腰三角形的構(gòu)成等知識點，綜合性強，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．