Question

如圖，點A在⊙O上，⊙O的直徑為8，∠B=30°，∠C=90°，AC=8．將△ABC從AC與⊙O相切于點A的位置開始，繞著點A順時針旋轉，旋轉角為β（0°＜β＜120°），旋轉后AC，AB分別與⊙O交于點E，F(xiàn)，連接EF．當BC與⊙O相切時，①旋轉角β=________度；②△AEF的面積為________．

Answer 1

90    8
分析：根據切線的性質，可以判斷當BC與⊙O相切時切點一定是C旋轉以后的對應點C′，AC′是圓的直徑，即可求得旋轉角，進而可以確定△AEF的位置，即可求解△AEF的面積．
解答：解：設旋轉以后BC與⊙O相切于點H，則連接OH，OA，則OH⊥BC，則OA=OH=4，AC=8，因而OA+OH=AC，
則H一定與C重合．
故當BC與⊙O相切時切點一定是C旋轉以后的對應點C′，AC′是圓的直徑．
E就是點C′，
∵AC是切線，
∴∠CAA′=90°，即β=90°．
在直角△AC′F中，∠FAC′=60°，則AF=AC′=4，
FC′=AC′=4，
則△AFC′的面積即△AEF的面積等于：AF•FC′=×4×4=8．
故答案是：90，8．
點評：本題考查了切線的性質，以及解直角三角形，正確判斷當BC與圓相切時，切點的位置是關鍵．