Question

如圖，BE是⊙O的直徑，點A在EB的延長線上，弦PD⊥BE，垂足為C，連接OD，∠AOD=∠APC．
（I）求證：AP是⊙O的切線；
（II）若⊙O半徑為4，AP=，求BP的長．

Answer 1

（I）證明：連接OP，
∵BE是⊙O的直徑，PD⊥BE，∠POC=∠DOC，
∵∠APD+∠A=90°，∠CPO+∠POA=90°，
而∠AOD=∠APC，
∴∠POC=∠APD，
∴∠A=∠DPO，
從而∠DPO+∠APD=90°，
即OP⊥AP，
∴AP是⊙O的切線；

（Ⅱ）解：∵OP⊥AP，
∴△AOP是直角三角形，∠APO=90°
∵，tan∠A=，
∴∠A=30°，
∴∠OPC=30°，
∴∠POB=60°，
∴PB=OP=4．
分析：（I）連接OP，證OP⊥AP即可；可結(jié)合已知的等角和等腰三角形、直角三角形的性質(zhì)進行證明；
（II）由（Ⅰ）可知三角形AOP是直角三角形，利用已知數(shù)據(jù)和特殊角的三角函數(shù)即可求出BP的長．
點評：此題主要考查了切線的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、以及相似特殊角的銳角三角函數(shù)等知識，難度適中．