(2006•攀枝花)已知拋物線y=ax2+bx+c與y軸的交點為C,頂點為M,直線CM的解析式y(tǒng)=-x+2并且線段CM的長為
(1)求拋物線的解析式;
(2)設(shè)拋物線與x軸有兩個交點A(x1,0)、B(x2,0),且點A在B的左側(cè),求線段AB的長;
(3)若以AB為直徑作⊙N,請你判斷直線CM與⊙N的位置關(guān)系,并說明理由.

【答案】分析:(1)利用C為拋物線和直線的公共點,根據(jù)直線解析式可求得C點坐標,進而求出c的值;利用M為拋物線和直線的公共點,將拋物線頂點坐標代入直線,求出b的值;過M點作y軸的垂線,垂足為Q,構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理求出a的值;
(2)依據(jù)兩點之間距離公式求解即可.已知拋物線與x軸有兩個交點,故求出拋物線應(yīng)為:y=-x2-2x+2.拋物線與x軸有兩個交點且點A在B的左側(cè),故|AB|=|x1-x2|=4;
(3)求出⊙N半徑和直線到圓心的距離,比較它們的大小即可判斷其位置關(guān)系.
解答:
解:(1)解法一:
由已知,直線CM:y=-x+2與y軸交于點C(0,2)
拋物線y=ax2+bx+c過點C(0,2),
所以c=2,拋物線y=ax2+bx+c的頂點M(-,)在直線CM上,
所以=+2,
解得b=0或b=-2(2分)
若b=0,點C、M重合,不合題意,舍去,
所以b=-2.即M(,2-
過M點作y軸的垂線,垂足為Q,
在Rt△CMQ中,CM2=CQ2+QM2
所以,8=(2+[2-(2-)]2
解得,a=±
∴所求拋物線為:y=-x2-2x+2或y=x2-2x+2(4分)
以下同下.
解法二:由題意得C(0,2),
設(shè)點M的坐標為M(x,y)
∵點M在直線y=-x+2上,
∴y=-x+2
由勾股定理得CM=,
由勾股定理得CM=
∵CM=2,即x2+(y-2)2=8
解方程組
(2分)
∴M(-2,4)或M‘(2,0)
當M(-2,4)時,
設(shè)拋物線解析式為y=a(x+2)2+4,
∵拋物線過(0,2)點,
∴a=-,
∴y=-x2-2x+2(3分)
當M‘(2,0)時,
設(shè)拋物線解析式為y=a(x-2)2
∵拋物線過(0,2)點,
∴a=,
∴y=-x2-2x+2
∴所求拋物線為:y=-x2-2x+2或y=x2-2x+2(4分);

(2)∵拋物線與x軸有兩個交點,
∴y=x2-2x+2不合題意,舍去.
∴拋物線應(yīng)為:y=-x2-2x+2(6分)
拋物線與x軸有兩個交點且點A在B的左側(cè),
∴y=-x2-2x+2=0,
得AB=|x1-x2|==4;(8分)
(3)∵AB是⊙N的直徑,
∴r=,N(-2,0),
又∵M(-2,4),
∴MN=4
設(shè)直線y=-x+2與x軸交于點D,則D(2,0),
∴DN=4,可得MN=DN,
∴∠MDN=45°,作NG⊥CM于G,在Rt△NGD中,
NG=DN•sin45°=2=r(10分)
即圓心到直線CM的距離等于⊙N的半徑
∴直線CM與⊙N相切(12分).
點評:此題作為壓軸題,綜合考查了二次函數(shù)及圓的相關(guān)知識.本題綜合性較強,綜合了函數(shù)、方程、圓等知識,解第3小題時可以根據(jù)圖形的直觀對結(jié)論進行猜想再證明.
練習(xí)冊系列答案
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(1)藥物燃燒時,y與x的函數(shù)關(guān)系式為______,自變量x的取值范圍是______;藥物燃燒后,y與x的函數(shù)關(guān)系式為______.
(2)研究表明,當空氣中每立方米的含藥量低于2毫克時,人方可進入室內(nèi),那么從消毒開始,至少需要經(jīng)過______分鐘后,人才可以回到室內(nèi).
(3)當空氣中每立方米的含藥量不低于5毫克且持續(xù)時間不低于10分鐘時,才能有效殺滅空氣中的病菌,那么此次消毒是否有效,為什么?

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(1)藥物燃燒時,y與x的函數(shù)關(guān)系式為______,自變量x的取值范圍是______;藥物燃燒后,y與x的函數(shù)關(guān)系式為______.
(2)研究表明,當空氣中每立方米的含藥量低于2毫克時,人方可進入室內(nèi),那么從消毒開始,至少需要經(jīng)過______分鐘后,人才可以回到室內(nèi).
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