如圖所示，在正三角形ABC內(nèi)有一點M，且MA=3，MB=4，MC=5．
（1）求∠BMA的度數(shù)；
（2）求正三角形ABC的面積．
（提示：把△ACM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，使點C與點B重合）
分析：（1）先把△ACM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，使點C與點B重合，連接MM′，由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△AMC≌△AM'B，所以∠BAM'=∠CAM，AM=AM'，∠MAM'=∠BAC，故MM'=MA，再根據(jù)勾股定理的逆定理得出△MM'B是直角三角形且∠M'MB=90°，由此即可得出結(jié)論；
（2）過B作AM延長線的垂線，垂足為Q，由（1）知∠BAM=150°，故可得出∠BMQ=30°，由直角三角形的性質(zhì)可得出BQ、MQ的長，故可得出AB的長，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論．
解答：解：（1）把△ACM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，使點C與點B重合，連接MM′，如圖所示，
∵△ABM′由△ACM旋轉(zhuǎn)而成，
∴△AMC≌△AM'B，
∴∠BAM'=∠CAM，AM=AM'．
∵∠BAC=60°，
∴∠MAM'=∠BAC=60°，
∴△MAD是等邊三角形，
∴MM'=MA=3．
∵M'B=MC=5，MB=4
∴M'M2+MB2=M'B2，
∴△MM'B是直角三角形且∠M'MB=90°，
∴∠BMA=90°+60°=150°；

（2）如圖所示，過B作AM延長線的垂線，垂足為Q，
∵由（1）知，∠BMA=150°，
∴∠BMQ=180°-∠BMA=180°-150°=30°
∴BQ=
MB
2
=2，MQ=
3
BQ=2
3
，
∴AQ=MA+MQ=3+2
3
，
∴AB2=AQ2+BQ2=（3+2
3
）2+22=25+12
3
，
∴S△ABC=
1
2
AB•AB•sin60°=
1
2
×（25+12
3
）×
3
2
=9+
25
3
4
．
點評：本題考查的是勾股定理的逆定理，熟知圖形旋轉(zhuǎn)不變性的性質(zhì)及勾股定理的逆定理是解答此題的關(guān)鍵．
練習冊系列答案
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3、如圖所示，在正三角形ABC中，AO，BO，OC是三角形ABC角平分線交點，則∠1+∠2為（　　）

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：單選題

如圖所示，在正三角形ABC中，AO，BO，OC是三角形ABC角平分線交點，則∠1+∠2為


  1. A.
    60°
  2. B.
    150°
  3. C.
    30°
  4. D.
    120°

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科目：初中數(shù)學 來源：同步題 題型：解答題

數(shù)學課堂上，徐老師出示了一道試題：如圖所示，在正三角形ABC中M是BC邊（不含端點B，C）上任意一點.P是BC延長線上一點，N是∠ACP的平分線上一點，若∠AMN=60°，求證：AM=MN。
（1）經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的證明過程，請你將證明過程補充完整。證明：在AB上截取EA=MC，連接EM，得△AEM
∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB-∠B，∠AMN=∠B=60°，
∴∠1=∠2
又∵CN平分∠ACP，
∴∠4=∠ACP=60°
∴∠MCN=∠3+∠4=120° ①
又∵BA=BC，EA=MC，
∴BA-EA=BC-MC
即：BE=BM
∴△BEM為等邊三角形
∴∠6=60°
∴∠5=180°-6=120°。②
由①②得∠MCN=∠5
在△AEM和△MCN中
∴（         ），（           ），（         ），
∴△AEM≌△MCN（ASA）
∴AM=MN。
（2）若將試題中的“正三角形ABC”改為“正方形A1B1C1D1”（如圖），N1是∠D1C1P1的平分線上一點，則當∠A1M1N1=90°時，結(jié)論A1M1=M1N1是否還成立？
（3）若將題中的“正三角形ABC”改為“正多邊形AnBnCnDn…Xn”，請你猜想：當∠AnMnNn=（     ）時，結(jié)論AnMn=MnNn仍然成立？（直接寫出答案，不需要證明）

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科目：初中數(shù)學 來源：專項題 題型：單選題

如圖所示，在正三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分 別是BC，AC，AB上的點，DE⊥AC，EF⊥ AB，F(xiàn)D⊥BC，則△DEF的面積與△ABC 的面積之比等于
[     ]

A.1∶3
B.2∶3
C.∶2
D.∶3

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