Question

如圖，在△ABC中，∠A=30°，AB=24cm，AC=16cm，點P從點B出發(fā)，沿BA邊以4cm/秒的速度移動到點A；點Q從點C出發(fā)，沿CA邊以2cm/秒的速度向點A移動．P、Q兩點同時出發(fā)，設運動的時間為t（0≤t≤6）秒．
（1）已知QD⊥AB，垂足為D．
①用含t的代數(shù)式表示QD=

（8-t）

cm；
②當△APQ的面積是△ABC面積的一半時，求t的值；
（2）當以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似（全等除外）時，求t的值．

Answer 1

分析：（1）由Q的運動速度可求出t時間內(nèi)Q運動的路程，進而求出AQ的長，再根據(jù)在直角三角形中30°所對的直角邊為斜邊的一半即可求出QD的長度；
（2）連接PQ，過點C作CE⊥AB，垂足為E，則CE=

1

2

AC=8cm，依題意得：BP=4tcm，AP=（24-4t）cm，當S_△APQ=

1

2

S_△ABC時，即

1

2

AP×DQ=

1

2

×AB×CE，進而求出符合題意的t值；
（3）當以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似（全等除外）時，則△APQ∽△ABC或△APQ∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：對應邊的比值相等即可求出符合題意的t值．

解答：解：（1）∵點Q從點C出發(fā)，沿CA邊以2cm/秒的速度向點A移動，
∴t時的運動路程為2t，
∴CQ=2tcm，
∴AQ=AC-CQ=（16-2t）cm，
∵∠A=30°，QD⊥AB，垂足為D，
∴QD=

1

2

AQ=（8-t）cm；

（2）連接PQ，過點C作CE⊥AB，垂足為E，則CE=

1

2

AC=8cm，
依題意得：BP=4tcm，AP=（24-4t）cm，
當S_△APQ=

1

2

S_△ABC時，

1

2

AP×DQ=

1

2

×AB×CE，

1

2

（24-t）（8-t）=

1

2

×

1

2

×24×8，
整理得，t²-14t+24=0，
解得：t₁=2，t₂=12，（不合題意，舍去），
即當t=2時，△APQ的面積是△ABC面積的一半；

（3）當△APQ∽△ABC時，則有

AQ

AC

=

AP

AB

即：

16-2t

16

=

24-4t

24

，
解得：t=0（不合題意，舍去）；
當△APQ∽△ACB時，則有

AQ

AB

=

AP

AC

，
即：

16-2t

24

=

24-4t

16

，
解得t=5，
綜上所述：t=5時，以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似（全等除外）．
故答案為：（8-t）．

點評：本題考查了和幾何圖形有關的運動問題、直角三角形的性質(zhì)、一元二次方程的應用、相似三角形的判定和性質(zhì)以及分類討論的數(shù)學思想的運用，題目很好的考查了學生綜合解題的能力，題目難度中等．