(2013•尤溪縣質(zhì)檢)已知,拋物線y=-x2+bx+c,當(dāng)1<x<5時(shí),y值為正;當(dāng)x<1或x>5時(shí),y值為負(fù).
(1)求拋物線的解析式.
(2)若直線y=kx+b(k≠0)與拋物線交于點(diǎn)A(
32
,m)和B(4,n),求直線的解析式.
(3)設(shè)平行于y軸的直線x=t和x=t+2分別交線段AB于E、F,交二次函數(shù)于H、G.
①求t的取值范圍
②是否存在適當(dāng)?shù)膖值,使得EFGH是平行四邊形?若存在,求出t值;若不存在,請說明理由.
分析:(1)將(1,0)和(5,0)代入函數(shù)關(guān)系式,求出b,c的值即可;
(2)圖象過A(
3
2
,m)和B(4,n)兩點(diǎn)代入(1)中所求求出A,B的坐標(biāo)即可,進(jìn)而求出直線的解析式;
(3)①根據(jù)t>
3
2
,t+2<4進(jìn)而求出t的取值范圍即可;
②首先表示出E,F(xiàn),G,H各點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出t的值即可.
解答:解:(1)根據(jù)題意,拋物線y=-x2+bx+c與x軸交點(diǎn)為(1,0)和(5,0),
-1+b+c=0
-25+5b+c=0
,
解得
b=6
c=-5

∴拋物線的解析式為y=-x2+6x-5;

(2)∵y=-x2+6x-5的圖象過A(
3
2
,m)和B(4,n)兩點(diǎn),
∴m=
7
4
,n=3,∴A(
3
2
,
7
4
)和B(4,3),
∵直線y=kx+b(k≠0)過A(
3
2
,
7
4
)和B(4,3)兩點(diǎn)
3
2
k+b=
7
4
4k+b=3

解得
k=
1
2
b=1

∴直線的解析式為y=
1
2
x+1;

(3)①根據(jù)題意
t>
3
2
t+2<4
,
解得
3
2
<t<2,
②根據(jù)題意E(t,
1
2
t+1),F(xiàn)(t+2,
1
2
t+2)
H(t,-t2+6t-5),G(t+2,-t2+2t+3),
∴EH=-t2+
11
2
t-6,F(xiàn)G=-t2+
3
2
t+1,
若EFGH是平行四邊形,則EH=FG,即-t2+
11
2
t-6=-t2+
3
2
t+1,
解得:t=
7
4
,
∵t=
7
4
滿足
3
2
<t<2.
∴存在適當(dāng)?shù)膖值,且t=
7
4
使得EFGH是平行四邊形.
點(diǎn)評:此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式以及平行四邊形的性質(zhì),根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)得出E,F(xiàn),G,H點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而利用平行四邊形對邊相等得出是解題關(guān)鍵.
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13
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(1)求證:AC∥OD;
(2)如果DE⊥BC,求
AC
的長度.

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