Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8），sin∠CAB=, E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合），過(guò)點(diǎn)E作EF∥AC交BC于點(diǎn)F，連結(jié)CE.

（1）求AC和OA的長(zhǎng)；

（2）設(shè)AE的長(zhǎng)為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在（2）的條件下試說(shuō)明S是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出S的最大值，并求出此 時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)，判斷此時(shí)△BCE的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）AC=10；OA=6；（2）S=－＋4m；（3）E（－2,0）；△BCE為等腰三角形.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)求出OB和OC的長(zhǎng)度，根據(jù)∠CAB的正弦值求出AC，根據(jù)△AOC的勾股定理求出OA；（3）根據(jù)相似求出EF與m的關(guān)系，根據(jù)∠EFG的正弦值求出FG與m的關(guān)系，然后根據(jù)S=△BCE的面積減去△BFE的面積進(jìn)行計(jì)算；（3）根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后進(jìn)行判定.

試題解析：（1）∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8）， ∴OB＝2， OC＝8.

在Rt△AOC中，sin∠CAB== ∴ AC＝10 ∴

（2）依題意，AE＝m，則BE＝8－m. ∵EF∥AC，

∴△BEF∽△BAC. ∴＝ . 即 ＝.

∴EF＝.

過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB，垂足為G. 則sin∠FEG＝sin∠CAB＝.

∴＝. ∴FG＝＝8－m.

∴S＝＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）＝－＋4m.

自變量m的取值范圍是0＜m＜8.

（3） S存在最大值． ∵S＝－＋4m＝+8，且－＜0，

∴當(dāng)m＝4時(shí)，S有最大值，S最大值＝8

∵m＝4， ∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（－2，0） ∴△BCE為等腰三角形．

考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用.