Question

已知：拋物線y=-x²+mx+2m²（m＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，C是拋物線上一個動點(diǎn)（點(diǎn)C與點(diǎn)A、B不重合），D是OC的中點(diǎn)，連接BD并延長，交AC于點(diǎn)E．
（1）用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）求

CE

AE

的值；
（3）當(dāng)C、A兩點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離相等，且S_△CED=

8

5

時，求拋物線和直線BE的解析式．

Answer 1

分析：（1）由y=0，得出的一元二次方程的解就是A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)．由此可求出A、B的坐標(biāo)．
（2）本題要通過構(gòu)建相似三角形求解，過O作OG∥AC交BE于G，那么可得出兩組相似三角形：△CED∽△OGD、△BOG∽△BAE，可分別用這兩組相似三角形得出OG與EC的比例關(guān)系、OG與AE的比例關(guān)系，從而得出CE、AE的比例關(guān)系．
（3）求直線BE的解析式，要知道B、D的坐標(biāo)，就要先確定m的值，已知了A、C到y(tǒng)軸的距離相等，因此A、C的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，可得出C的坐標(biāo)為（m，2m²）．連接OE，可根據(jù)（2）中AE、CE的比例關(guān)系得出△CED與△AOC的面積比，從而可求出△AOC的面積，根據(jù)A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可表示出三角形AOC的面積，由此可確定m的值．即可得出A、C、B的坐標(biāo)．也就能求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)B、D的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出直線BE的解析式．

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+mx+2m²（m＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，
∴關(guān)于x的方程-x²+mx+2m²=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根x₁和x₂；
解得x₁=-m，x₂=2m．
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，且m＞0，
∴A（-m，0），b（2m，0）．

（2）過點(diǎn)O作OG∥AC交BE于點(diǎn)G．
∴△CED∽△OGD
∴

DC

DO

=

CE

OG

；
∵DC=DO，
∴CE=OG；
∵OG∥AC，
∴△BOG∽△BAE，
∴

OG

AE

=

OB

AB

．
∵OB=2m，AB=3m．
∴

CE

AE

=

OG

AE

=

OB

AB

=

2

3

．

（3）連接OE．
∵D是OC的中點(diǎn)，
∴S_△OCE=2S_△CED
∵

S△OCE

S△AOC

=

CE

CA

=

2

5

∴

S△CED

S△AOC

=

1

5

．
∴S_△AOC=5S_△CED=8
∵S_△AOC=

1

2

OA•|y_C|=

1

2

m•2m²=m³
∴m³=8，
解得m=2．
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+8，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，8），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0）．
分別過點(diǎn)D、C作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)M、N．
∴DM∥CN，
∵D是OC的中點(diǎn)．
∴OM=

1

2

ON=1，DM=

1

2

CN=4，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）．
設(shè)直線BE的解析式為y=kx+b，則有：

4k+b=0 k+b=4

，
解得：

k=- 4 3 b= 16 3

，
∴直線BE的解析式為y=-

4

3

x+

16

3

．

點(diǎn)評：本題著重考查了相似三角形和二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．