Question

一次函數(shù)y=ax+b的圖象分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M，N，與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)A，B．過點(diǎn)A分別作AC⊥x軸，垂足分別為C；過點(diǎn)B分別作BD⊥y軸，垂足分別為D，AC與BD交于點(diǎn)K，連接CD．下列結(jié)論：
①DK•AK=CK•BK；②四邊形DCAN是平行四邊形；③四邊形ABDC是等腰梯形；④AN=BM．
正確的有個(gè)．

1. A.
   1個(gè)
2. B.
   2個(gè)
3. C.
   3個(gè)
4. D.
   4個(gè)

Answer 1

C
分析：正確的有：①DK•AK=CK•BK；②四邊形DCAN是平行四邊形；④AN=BM，理由為：過A作AE垂直于y軸，過B作BF垂直于x軸，由矩形AEDK的面積=矩形AEOC的面積+矩形ODKC的面積，矩形BKCF的面積=矩形BDOF的面積+矩形ODKC的面積，且矩形AEOC的面積與矩形BDOF的面積相等，都等于反比例函數(shù)的系數(shù)k，得到矩形AEDK的面積=矩形BKCF的面積，利用矩形的面積公式列出關(guān)系式，得到DK•AK=CK•BK，由積的恒等式變形為比例式，再由一對(duì)公共角，利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似可得出三角形DCK與三角形BAK相似，由相似得到一對(duì)同位角相等，可得出CD與AB平行，又AC平行于y軸，得到四邊形DCAN為平行四邊形，由平行四邊形的對(duì)邊相等得到AN=CD，同理BM=CD，可得出AN=BM，得證．
解答：解：正確的有：①DK•AK=CK•BK；②四邊形DCAN是平行四邊形；④AN=BM，
理由如下：
證明：過A作AE⊥y軸，過B作BF⊥x軸，如圖所示，
∵S_矩形AEDK=S_矩形AEOC+S_矩形ODKC，S_矩形BKCF=S_矩形BDOF+S_矩形ODKC，
且S_矩形AEOC=S_矩形BDOF=k，
∴S_矩形AEDK=S_矩形BKCF，
∴AK•DK=BK•CK，即①正確；
∴CK：AK=DK：BK，
∵∠K=∠K，
∴△CDK∽△ABK，
∴∠CDK=∠ABK，
∴AB∥CD，
∵AC∥y軸，
∴四邊形ANDC是平行四邊形，即②正確；
∴AN=CD，
同理BM=CD，
∴AN=BM，即④正確；
而BD不一定等于AC，即四邊形ABDC是不一定為等腰梯形，
則正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)．
故選C
點(diǎn)評(píng)：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，在解題時(shí)要能把反比例函數(shù)的圖象與平行四邊形的判定和性質(zhì)相結(jié)合是本題的關(guān)鍵．