如圖,已知拋物線C1y=
12
x2
,把它平移后得拋物線C2,使C2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,8),且與拋物線C1交于點(diǎn)B(2,n).在x軸上有一點(diǎn)P,從原點(diǎn)O出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸正半軸的方向移動(dòng),設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間為t秒,過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線l,分別交拋物線C1、C2于E、D,當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B前停止運(yùn)動(dòng),以DE為邊在直線l左側(cè)畫(huà)正方形DEFG.
(1)判斷拋物線C2的頂點(diǎn)是否在x軸上,并說(shuō)明理由;
(2)當(dāng)t為何值時(shí),正方形DEFG在y軸右側(cè)的部分的面積S有最大值?最大值為多少?
(3)設(shè)M為正方形DEFG的對(duì)稱中心.當(dāng)t為何值時(shí),△MOP為等腰三角形?
分析:(1)把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線C1,進(jìn)行計(jì)算求出n的值,從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo),然后根據(jù)平移變換不改變二次函數(shù)圖象的形狀,設(shè)拋物線C2的解析式為y=
1
2
x2+bx+c,然后利用待定系數(shù)法求解,再根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行判斷;
(2)根據(jù)兩拋物線的解析式表示出點(diǎn)D、E的坐標(biāo),然后求出DE的長(zhǎng)度,然后根據(jù)矩形的面積公式列式整理,再根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題求解即可;
(3)根據(jù)正方形的性質(zhì)結(jié)合拋物線的對(duì)稱性可以判斷,當(dāng)正方形的中心在y軸右側(cè)時(shí),△MOP為等腰三角形,然后根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等,可得點(diǎn)M到直線l的距離等于正方形邊長(zhǎng)的一半,然后列式求解即可.
解答:解:(1)拋物線C2的頂點(diǎn)在x軸上.理由如下:
∵點(diǎn)B(2,n)在拋物線C1上,
1
2
×22=n,
解得n=2,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,2),
∵拋物線C2是拋物線C1平移得到,
∴設(shè)拋物線C2的解析式為y=
1
2
x2+bx+c,
又∵C2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,8),
c=8
1
2
×4+2b+c=2
,
解得
b=-4
c=8
,
∴拋物線C2的解析式為y=
1
2
x2-4x+8=
1
2
(x-4)2,
∴拋物線C2的頂點(diǎn)在x軸上;

(2)時(shí)間為t時(shí),點(diǎn)D、E的坐標(biāo)分別為D(t,
1
2
t2-4t+8),E(t,
1
2
t2),
∴DE=
1
2
t2-4t+8-
1
2
t2=-4t+8,
∴S=OP•DE=t(-4t+8)=-4t2+8t=-4(t-1)2+4,
∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B前停止運(yùn)動(dòng),
∴0<t<2,
∴當(dāng)t=1時(shí),正方形DEFG在y軸右側(cè)的部分S有最大值,最大值為4;

(3)如圖,可以判定當(dāng)點(diǎn)M在y軸左側(cè)時(shí),△MOP不能為等腰三角形,
∴當(dāng)點(diǎn)M在y軸右側(cè),且在OP的垂直平分線上時(shí),△MOP為等腰三角形,
此時(shí)∵點(diǎn)M是正方形的中心,
1
2
DE=
1
2
OP,
1
2
(-4t+8)=
1
2
t,
解得t=
8
5

8
5
<2,
∴符合題意,
故當(dāng)t=
8
5
時(shí),△MOP為等腰三角形.
點(diǎn)評(píng):本題是對(duì)二次函數(shù)的綜合考查,待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,兩點(diǎn)間的距離公式,正方形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),以及二次函數(shù)的最值問(wèn)題,綜合性較強(qiáng),難度較大,需仔細(xì)分析并理解方可解決.
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相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知拋物線C1:y=a(x+2)2-5的頂點(diǎn)為P,與x軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是1.
(1)求P點(diǎn)坐標(biāo)及a的值;
(2)如圖(1),拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對(duì)稱,將拋物線C2向右平移,平移后的拋物線記為C3,C3的頂點(diǎn)為M,當(dāng)點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱時(shí),求C3的解析式;
(3)如圖(2),點(diǎn)Q是x軸正半軸上一點(diǎn),將拋物線C1繞點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C4.拋物線C4的頂點(diǎn)為N,與x軸相交于E、F兩點(diǎn)(點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊),當(dāng)以點(diǎn)P、N、F為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知拋物線C1:y=a(x-2)2-5的頂點(diǎn)為P,與x軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是-1.
(1)求P點(diǎn)坐標(biāo)及a的值;
(2)如圖(1),拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對(duì)稱,將拋物線C2向左平移,平移后的拋物線記為C3,C3的頂點(diǎn)為M,當(dāng)點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)A成中心對(duì)稱時(shí),求C3的解析式y(tǒng)=a(x-h)2+k;
(3)如圖(2),點(diǎn)Q是x軸負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn),將拋物線C1繞點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C4.拋物線C4的頂點(diǎn)為N,與x軸相交于E、F兩點(diǎn)(點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊),當(dāng)以點(diǎn)P、N、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí),求頂點(diǎn)N的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知拋物線c1:y=-
14
x2+bx+c
與x軸交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線c2與拋物線c1關(guān)于y軸對(duì)稱,點(diǎn)A、B的對(duì)稱點(diǎn)分別是E、D,連接CD、CB,設(shè)AD=m.
(1)拋物線c2可以看成拋物線c1向右平移
m
m
個(gè)單位得到.
(2)若m=2,求b的值.
(3)將△CDB沿直線BC折疊,點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G,且四邊形CDBG是平行四邊形,
①△CDB為
等邊
等邊
三角形(按邊分);
②若點(diǎn)G恰好落在拋物線c2上,求m的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知拋物線C1:y=a(x+2)2-5的頂點(diǎn)為P,與x軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B精英家教網(wǎng)的左側(cè)),點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是1;
(1)求a的值;
(2)如圖,拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對(duì)稱,將拋物線C2向右平移,平移后的拋物線記為C3,拋物線C3的頂點(diǎn)為M,當(dāng)點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱時(shí),求拋物線C3的解析式.

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