Question

求滿足2p²+p+8=m²-2m的所有素?cái)?shù)p和正整數(shù)m．

Answer 1

由題設(shè)得p（2p+1）=（m-4）（m+2），
由于p是素?cái)?shù)，故p是（m-4）的因數(shù)，或p是（m+2）的因數(shù)．（5分）
（1）若p等于（m-4），令m-4=kp，k是正整數(shù)，于是m+2＞kp，3p²＞p（2p+1）=（m-4）（m+2）＞k²p²，故k²＜3，從而k=1，
所以

m-4=p m+2=2p+1

解得

p=5 m=9.

（10分）

（2）若p等于（m+2），令m+2=kp，k是正整數(shù)．
當(dāng)p＞5時(shí)，有m-4=kp-6＞kp-p=p（k-1），3p²＞p（2p+1）=（m-4）（m+2）＞k（k-1）p²，
故k（k-1）＜3，從而k=1，或2，
由于p（2p+1）=（m-4）（m+2）是奇數(shù)，所以k≠2，從而k=1，
于是

m-4=2p+1 m+2=p

，
這不可能．當(dāng)p=5時(shí)，m²-2m=63，m=9；當(dāng)p=3，m²-2m=29，無(wú)正整數(shù)解；
當(dāng)p=2時(shí)，m²-2m=18，無(wú)正整數(shù)解．
綜上所述，所求素?cái)?shù)p=5，正整數(shù)m=9．（20分）