已知拋物線y=a(x-m)2+n與y軸交于點(diǎn)A,它的頂點(diǎn)為點(diǎn)B,點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)分別為C、D.若A、B、C、D中任何三點(diǎn)都不在一直線上,則稱四邊形ABCD為拋物線的伴隨四邊形,直線AB為拋物線的伴隨直線.
(1)如圖1,求拋物線y=(x-2)2+1的伴隨直線的解析式.
(2)如圖2,若拋物線y=a(x-m)2+n(m>0)的伴隨直線是y=x-3,伴隨四邊形的面積為12,求此拋物線的解析式.
(3)如圖3,若拋物線y=a(x-m)2+n的伴隨直線是y=-2x+b(b>0),且伴隨四邊形ABCD是矩形.
①用含b的代數(shù)式表示m、n的值;
②在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使得△PBD是一個(gè)等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)(用含b的代數(shù)式表示);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】分析:(1)利用拋物線y=(x-2)2+1的與y軸交于點(diǎn)A(0,5),它的頂點(diǎn)為點(diǎn)B(2,1),求出直線解析式即可;
(2)首先得出點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,-3),以及點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),進(jìn)而求出BE=2,得出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)求出解析式即可;
(3)①由已知可得A坐標(biāo)為(0,b),C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-b),以及n=-2m+b,即點(diǎn)B點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,-2m+b),利用勾股定理求出;
②利用①中B點(diǎn)坐標(biāo),以及BD的長度即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo).
解答:解:(1)由拋物線y=a(x-m)2+n與y軸交于點(diǎn)A,它的頂點(diǎn)為點(diǎn)B,
∴拋物線y=(x-2)2+1的與y軸交于點(diǎn)A(0,5),它的頂點(diǎn)為點(diǎn)B(2,1),
設(shè)所求直線解析式為y=kx+b,
,
解得:
∴所求直線解析式為y=-2x+5;

(2)如圖,作BE⊥AC于點(diǎn)E,由題意得四邊形ABCD是平行四邊形,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,-3),
點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),
可得:AC=6,
∵平行四邊形ABCD的面積為12,
∴S△ABC=6即S△ABC=AC•BE=6,
∴BE=2,
∵m>0,即頂點(diǎn)B在y軸的右側(cè),且在直線y=x-3上,
∴頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,-1),
又拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(0,-3),
∴a=-,
∴y=-(x-2)2-1;

(3)①如圖,作BF⊥x軸于點(diǎn)F,
由已知可得A坐標(biāo)為(0,b),C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-b),
∵頂點(diǎn)B(m,n)在直線y=-2x+b(b>0)上,
∴n=-2m+b,即點(diǎn)B點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,-2m+b),
在矩形ABCD中,CO=BO.
∴b=,
∴b2=m2+4m2-4mb+b2,
∴m=b,
n=-2×b+b=-b,

②∵B點(diǎn)坐標(biāo)為(m,n),即(b,-b),
∴BO==b,
∴BD=2b,
當(dāng)BD=BP,
∴PF=2b-b=b,
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(b,b);
如圖3,當(dāng)DP=PB時(shí),
過點(diǎn)D作DE⊥PB,于點(diǎn)E,
∵B點(diǎn)坐標(biāo)為(b,-b),
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(-b,b),
∴DE=b,BE=b,設(shè)PE=x,
∴DP=PB=b+x,
∴DE2+PE2=DP2,
+x2=(b+x)2,
解得:x=b,
∴PF=PE+EF=b+b=b,
∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為:(b,b);
同理P可以為(b,-b);(b,b),
故P點(diǎn)坐標(biāo)為:(b,b);(b,b);(b,-b);(b,b).
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及勾股定理和點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì),二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中階段的重點(diǎn)題型特別注意利用數(shù)形結(jié)合是這部分考查的重點(diǎn)也是難點(diǎn)同學(xué)們應(yīng)重點(diǎn)掌握.
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(1)求此拋物線的解析式;
(2)求直線AC和BC的方程;
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x2+10,為保護(hù)廊橋的安全,在該拋物線上距水面AB高為8米的點(diǎn)E、F處要安裝兩盞警示燈,求這兩盞燈的水平距離EF(精確到1米).

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(3)若直線y2=2x+m經(jīng)過點(diǎn)B,且于該拋物線交于另一點(diǎn)C(
ca
,b+8
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