【題目】如圖,己知拋物線y=kx+1)(x﹣3k)(且k0)與x軸分別交于AB兩點,A點在B點左邊,與Y軸交于C點,連接BC,過A點作AECB交拋物線于E點,0為坐標原點.

1)用k表示點C的坐標(0 );

2)若k=1,連接BE,

求出點E的坐標;

x軸上找點P,使以PB、C為頂點的三角形與ABE相似,求出P點坐標;

3)若在直線AE上存在唯一的一點Q,連接OQBQ,使OQBQ,求k的值.

【答案】1﹣3k2;245);,0)或(,0);3k=

【解析】

試題分析:1)只需把x=0代入拋物線的解析式,就可求出點C的坐標;

2只需先求出直線AE的解析式,再求出直線AE與拋物線的交點坐標,就可解決問題;AEBC可得EAB=ABC,然后分PBC∽△BAEPBC∽△EAB兩種情況進行討論,運用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題;

3)由OQBQ可知點Q在以OB為直徑的圓上,由于直線AE上存在唯一的一點Q,使得OQBQ,因此以OB為直徑的圓與直線AE相切,切點為Q,圓心記為O′,連接O′Q,如圖2,易證AQO′∽△BOC,然后只需用k的代數(shù)式表示OC、QO′、AO′、BC,再運用相似三角形的性質(zhì)就可求出k的值.

解:(1)當x=0時,y=k0+1)(0﹣3k=﹣3k2,

C的坐標為(0,﹣3k2).

故答案為:﹣3k2;

2k=1,

拋物線的解析式為y=x+1)(x﹣3).

x=0時,y=﹣3,則點C0,﹣3),OC=3

y=0時,x1=﹣1,x2=3,

則點A﹣1,0),點B3,0),OA=1,OB=3

AECB,∴△AODBOC,

=,

OD=1,即D0,1).

設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b

,

解得:

直線AE的解析式為y=x+1,

聯(lián)立

解得:,

E的坐標為(4,5);

過點EEHx軸于H,如圖1,

OH=4,BH=5AH=5,AE==5

AEBC,∴∠EAB=ABC

.若PBC∽△BAE,則=

AB=4,BC==3,AE=5,

=

BP=,

P的坐標為(3﹣0)即(,0);

.若PBC∽△EAB,則=,

=,

BP=

P的坐標為(3﹣,0)即(,0);

綜上所述:滿足條件的P點坐標為(0)或(,0);

3直線AE上存在唯一的一點Q,使得OQBQ

OB為直徑的圓與直線AE相切于點Q,圓心記為O′,連接O′Q,如圖2,

則有O′QAE,O′Q=OO′=OB

x=0時,y=k0+1)(0﹣3k=﹣3k2,則點C0,﹣3k2),

y=0時,kx+1)(x﹣3k=0,解得x1=﹣1,x2=3k,

則點A﹣10),B3k,0),

OB=3kOA=1,OC=3k2

O′Q=OO′=,O′A=+1BC==3k

∵∠QAO′=OBC,AQO′=BOC=90°,

∴△AQO′∽△BOC,

=

QO′BC=AO′OC,

3k=+13k2,

解得:k=

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