Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，點D是的中點，DP⊥AC，垂足為點P．
（1）求證：PD是⊙O的切線．
（2）若AC=6，cosA=，求PD的長．

Answer 1

（1）證明：如圖：連接OD，AD．
∵D為弧BC的中點，
∴弧CD=弧BD．
∴，
∵，
∴∠PAB=∠BOD，
∴PA∥DO，
∵DP⊥AP，
∴∠P=90°，
∴∠ODP=∠P=90°，
即OD⊥PD，
∵點D在⊙O上，
∴PD是⊙O的切線；

（2）連接CB交OD于點E．
∵AB為⊙O直徑，
∴∠ACB=∠ECP=90°，
∵∠ODP=∠P=90°，
∴四邊形PCED為矩形，
∴PD=CE，∠CED=90°，
∴OD⊥CB，
∴EB=CE，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴cosA=，
∵AC=6，cosA=，
∴AB=10，
∴BC=8，
∴CE=PD=BC=4．
分析：（1）連接OD，AD．由于D是弧BC中點，易知弧CD=弧BD，即可得∠1=∠2，利用圓周角定理可知∠2=∠BOD，易證∠PAB=∠BOD，從而可判定PA∥DO，而∠P=90°，易求∠ODP=90°，從而可證DP實切線；
（2）連接CB交OD于點E，由于AB是直徑，可知∠ACB=90°，結合（1）中的內容，易證四邊形CEDP是矩形，于是DP=CE，∠CED=90°，即OD⊥CB，而OD∥AP，OA=OB，利用平行線分線段成比例定理的推論，可證CE=BE，在Rt△ABC中，
根據(jù)AC=6，cosA=，可求AB，再利用勾股定理可求BC，從而可求DP．
點評：本題考查了切線的判定和性質、圓周角定理、勾股定理、平行線的判定和性質、矩形的判定和性質、解直角三角形．解題的關鍵是證明OD∥AP，四邊形PCED為矩形．