Question

如圖．AE、BD是△ABM的高．AE、BD交于點C，且AE=BE，BD平分∠ABM．
（1）求證：BC=2AD；
（2）求證：AB=AE+CE；
（3）求證：DE平分∠MDB．

Answer 1

分析：（1）證△ABD≌△MBD，推出AD=DM=

1

2

AM，證△AME≌△BCE，推出AM=BC，即可得出答案．
（2）根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出AB=MB，ME=EC，即可得出答案．
（3）作EF⊥BC于F，EN⊥AD于N，證△ANE≌△BFE，推出EN=EF即可．

解答：證明：（1）∵BD平分∠ABM，BD是高，
∴∠ABD=∠MBD，∠ADB=∠MDB=90°，
∵在△ABD和△MBD中

∠ADB=∠MDB BD=BD ∠ABD=∠MBD

∴△ABD≌△MBD（ASA），
∴AD=DM=

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2

AM，
∵AE、BD是△ABM的高，
∴∠ADB=∠AEB=∠AEM=90°，
∵∠ACD=∠ECB，∠MAE+∠ADC+∠ACD=180°，∠CBE+∠ECB+∠CEB=180°，
∴∠MAE=∠CBE，
在△AME和△BCE中

∠MAE=∠CBE AE=BE ∠AEM=∠BEC

∴△AME≌△BCE（ASA），
∴AM=BC，
∴BC=2AD．

（2）∵△ABD≌△MBD，
∴AB=MB，
∵△AME≌△BCE，
∴ME=EC，
∴AB=BM=BE+EM=AE+CE．

（3）作EF⊥BC于F，EN⊥AD于N，
則∠ANE=∠BFE=90°，
∵在△AEN和△BEF中

∠NAE=∠EBF ∠ANE=∠BFE AE=BE

∴△AEN≌△BEF（AAS），
∴EN=EF，
∵EF⊥BC，EN⊥AD，
∴DE平分∠MDB．

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用定理進行推理的能力．