Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，等邊△OAB的邊OB與x軸重合，頂點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，

3

），過點(diǎn)A的動(dòng)直線l從AB出發(fā)，以點(diǎn)A為中心，沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)且與x軸的正半軸交于點(diǎn)C，以線段AC為邊在直線l的上方作等邊△ACD．
（1）求證：△AOC≌△ABD；
（2）當(dāng)?shù)冗叀鰽CD的邊DC與x軸垂直時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在直線L的運(yùn)動(dòng)過程中，等邊△ACD的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)在變化，設(shè)直線BD交y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)E的坐標(biāo)是否發(fā)生變化？若沒有變化，求點(diǎn)E的坐標(biāo)和直線BD的函數(shù)表達(dá)式；如果發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由．
（4）當(dāng)直線L繼續(xù)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)且與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，其他條件不變時(shí)，等邊△ACD的頂點(diǎn)D是否在一條固定的直線上運(yùn)動(dòng)？如果是，請(qǐng)直接寫出這條函數(shù)表達(dá)式；如果不是，請(qǐng)直接回答“不是”．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AO=AB，AC=AD，∠OAB=∠CAD=60°，求出∠OAC=∠BAD即可；
（2）過點(diǎn)A作AG⊥X軸，垂足為G，根據(jù)A的坐標(biāo)求出AG、OB，求出∠ACO的度數(shù)，求出GC、AG 的長(zhǎng)即可得到答案；
（3）過點(diǎn)D作DH⊥X軸，設(shè)點(diǎn)D 的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出y=（x-2）

3

=

3

X-2

3

，即可求出答案；
（4）根據(jù)已知得到∠AOD=60°，即D在于X軸正半軸夾角為120度直線上運(yùn)動(dòng)，求出直線的解析式即可．

解答：解：（1）證明：∵△OAB和△ACD是等邊三角形，
∴AO=AB，AC=AD，∠OAB=∠CAD=60°，
又因∠OAC=∠OAB+∠BAC，∠BAD=∠BAC+∠CAD，
∴∠OAC=∠BAD，
∴△AOC≌△ABD．

（2）∵DC⊥x軸，△ACD為等邊三角形，
∴∠DCO=90°，∠DCA=60°
∴∠ACO=∠DCO-∠DCA=30°，
過點(diǎn)A作AG⊥x軸，垂足為G，如圖所示：

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，

3

），
∴AG=

3

，0B=2OG=2，
在RT△ACG中，∠ACO=30°，
∴AC=2AG=2

3

，GC=

AG

tan30°

=3
∴OC=4，DC=AC=2

3

，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，2

3

），
答：點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，2

3

）．

（3）點(diǎn)E的坐標(biāo)不變，
由（1）得∠ABD=∠AOC=60°，
∴∠DBC=180°-60°-60°=60°，
過點(diǎn)D作DH⊥x軸，如圖所示：設(shè)點(diǎn)D 的坐標(biāo)為（x，y），
∴DH=y，OH=x，在RT△DBH中，DH=BHtan∠DBC=BHtan60°=（OH-OB）

3

，
即y=（x-2）

3

=

3

x-2

3

，
即點(diǎn)D始終在直線y=

3

x-2

3

上運(yùn)動(dòng)，
則直線y=

3

x-2

3

與Y軸的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)，
故點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，-2

3

），
所求直線BD的函數(shù)表達(dá)為y=

3

x-2

3

，
答：點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，-2

3

），直線BD的函數(shù)表達(dá)為y=

3

x-2

3

．

．

（4）解這條直線函數(shù)的表達(dá)式為y=-

3

x，
理由：由條件可知，∠AOD=60°，即D在于X軸正半軸夾角為120度直線上運(yùn)動(dòng)，即這條直線的函數(shù)表達(dá)式為y=-

3

x．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)銳角三角函數(shù)的定義，全等三角形的性質(zhì)和判定，含30度角的直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．