Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，E是BC中點(diǎn)，點(diǎn)O在AB上，以O(shè)B為半徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)AE上的一點(diǎn)M，分別交AB，BC于點(diǎn)F，G，連BM，此時(shí)∠FBM=∠CBM．
（1）求證：AM是⊙O的切線；
（2）當(dāng)BC=6，OB：OA=1：2 時(shí)，求，AM，AF圍成的陰影部分面積．

Answer 1

解：（1）連結(jié)OM，
∵AB=AC，E是BC中點(diǎn)，
∴BC⊥AE，
∵OB=OM，
∴∠OMB=∠MBC，
∵∠FBM=∠CBM，
∴∠OMB=∠CBM，
∴OM∥BC，
∴OM⊥AE，
∴AM是⊙O的切線；

（2）∵E是BC中點(diǎn)，
∴BE=BC=3，
∵OB：OA=1：2，OB=OM，
∴OM：OA=1：2，
∵OM⊥AE，
∴∠MAB=30°，∠MOA=60°，OA：BA=1：3，
∵OM∥BC，
∴△AOM∽△ABE，
∴==，
∴OM=2，
∴AM==2，
∴S_陰影=×2×2-=2-π．
分析：（1）連接OM，由AB=AC，且E為BC中點(diǎn)，利用三線合一得到AE垂直于BC，再由OB=OM，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，由已知角相等，等量代換得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行得到OM與BC平行，可得出OM垂直于AE，即可得證；
（2）由E為BC中點(diǎn)，求出BE的長(zhǎng)，再由OB與OA的比值，以及OB=OM，得到OM與OA的比值，由OM垂直于AE，利用直角三角形中一直角邊等于斜邊的一半，得到此直角邊所對(duì)的角為30度得到∠MAB=30°，∠MOA=60°，陰影部分的面積=三角形AOM面積-扇形MOF面積，求出即可．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定，涉及的知識(shí)有：圓周角定理，弧，弦及圓心角之間的關(guān)系，平行線的性質(zhì)，扇形面積求法，以及勾股定理，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．