Question

設(shè)x₁、x₂是關(guān)于x的方程x²-4x+k+1=0的兩個實(shí)數(shù)根．試問：是否存在實(shí)數(shù)k，使得x₁•x₂＞x₁+x₂成立，請說明理由．

Answer 1

分析：方程有兩實(shí)數(shù)根下必須滿足△=b²-4ac≥0．又由兩根之積大于兩根之和，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，即可得到關(guān)于k的不等式，解得k即可．

解答：解：∵方程有實(shí)數(shù)根，∴b²-4ac≥0，∴（-4）²-4（k+1）≥0，即k≤3．（2分）
∵x=

4± (-4)2-4(k+1)

2

=2±

3-k

，
∴x1+x2=(2+

3-k

)+(2-

3-k

)=4，
x1•x2=(2+

3-k

)•(2-

3-k

)=k+1（3分）
若x₁•x₂＞x₁+x₂，即k+1＞4，∴k＞3．
而k≤3，因此，不存在實(shí)數(shù)k，使得x₁•x₂＞x₁+x₂成立．（3分）

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查了一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，是一個綜合性的題目，也是一個難度中等的題目．