Question

（本題14分）在平面直角坐標系中，已知拋物線經過、、三點．

⑴ 求拋物線的解析式；
⑵ 若點M為第三象限內拋物線上一動點，點M的橫坐標為m,△AMB的面積為S．求S關于m的函數(shù)關系式，并求出S的最大值；
⑶ 若點P是拋物線上的動點，點Q是直線上的動點，判斷有幾個位置能使以點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應的點Q的坐標．

Answer 1

（1)拋物線的解析式為 y=x²/2+x-4
（2)作MN垂直x軸于N，則
S△AMB=S梯形OBMN+S△NMA-S△ABO
=1/2|-4-(m²/2+m-4)||m|+1/2|m²/2+m-4||-4-m|-8
=-m²-4m (-4＜m＜0)
即S關于M的函數(shù)關系式為 S(m)=-m²-4m (-4＜m＜0)
-m²-4m =-m(m+4)≤(-m+m+4)²/4=4，當m=-2時取等號，則
S(m)max=S(-2)=4
（3)要滿足使點P,Q,B,O為頂點的四邊形為平行四邊形，可分為兩種情況
第一種情況是OB為四邊形的一邊，要使其為平行四邊形，則OB平行且等于PQ，即|x²/2+x-4+x|=4
x1=2√5-2，x2=-2√5-2，x3=-4
此時Q點坐標為(2√5-2，2-2√5)、(-2√5-2，2√5+2)或(-4，4)
第二種情況是OB為四邊形的對角線，則OQ必為四邊形的一邊，要使其為平行四邊形，則OQ平行且等于PB
過點B且平行于OQ的直線為 y=-x-4
與拋物線 y=x²/2+x-4 的另一交點為P(-4，0)，|PB|=4√2
|OQ|=|PB|，則Q點為(4，-4)
綜上所述，Q點坐標為(2√5-2，2-2√5)、(-2√5-2，2√5+2)、(-4，4)或(4，-4)時滿足題意

解析