Question

如圖，已知⊙A、⊙B都經過點C，BC是⊙A的切線，⊙B交AB于點D，連接CD并延長交⊙A于點E，連接AE．
（1）求證：AE⊥AB；
（2）求證：DE•DC=2AD•DB；
（3）如果DE•DC=8，AE=3，求BC的長．

Answer 1

（1）證明：∵AC是⊙B的切線，
∴AC⊥BC，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC，
而∠BDC=∠ADE，
∴∠BCD=∠ADE，
又∵AC=AE，
∴∠ACD=∠AED，
∴∠AED+∠ADE=90°，
即∠EAD=90°，
∴AE⊥AB；
（2）證明：過點B作BF⊥CD于點F，如圖，
∵BC=BD，
∴CF=FD，即CD=2DF，
∵∠ADE=∠BDF，∠EAD=∠BFD=90°，
∴△ADE∽△FDB，
∴DE：DB=DA：DF，即DE•FD=AD•DB，
∴DE•2FD=2AD•DB，
∴DE•DC=2AD•DB；
（3）解：∵DE•DC=2AD•DB=8，
∴2AD•DB=8，
∵AC=AE=3，BC=BD，
在Rt△ABC中，（AD+BD）²=AC²+BC²，
∴（AD+BD）²=AC²+BD²，
∴AD²+2AD•BD+BD²=9+BD²，解得AD=1，
∴2×1×BD=8，
∴BD=4，
∴BC=4．
分析：（1）根據切線的性質得到∠ACB=90°，即∠ACD+∠BCD=90°，根據等腰三角形的性質由AC=AE得∠AEC=∠ACE，由BC=BD得∠BCD=∠BDC，再根據對頂角相等得到∠BDC=∠ADE，于是可得到∠AED+∠ADE=90°，即有AE⊥AB；
（2）過點B作BF⊥CD于點F，則CF=FD，即CD=2DF，根據三角形相似的判定易得△ADE∽△FDB，則DE：DB=DA：DF，即DE•FD=AD•DB，即可得到結論；
（3）由DE•DC=2AD•DB=8，得2AD•DB=8，而AC=AE=3，BC=BD，在Rt△ABC中，根據勾股定理得（AD+BD）²=AC²+BC²，展開AD²+2AD•BD+BD²=9+BD²，可解得AD=1，利用2AD•DB=8可計算出BD，即可得到BC的長．
點評：本題考查了圓的綜合題：圓的切線垂直于過切點的半徑；運用三角形相似的判定與性質證明等積問題；利用勾股定理計算線段的長．