Question

在△ABC中，∠A=90°，點D在線段BC上，∠EDB=∠C，BE⊥DE，垂足為點E，DE與AB相交于點F．當(dāng)AB=AC時（如圖所示）．
（1）∠EBF=______．
（2）探究線段BE與FD的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

解：（1）作DH⊥AB于H，如圖，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=45°，
∴∠EDB=∠C=22.5°，
∵BE⊥DE，
∴∠E=90°，
∴∠EBD=90°-22.5°=67.5°，
∴∠EBF=∠EBD-∠ABC=22.5°．

（2）BE=FD．理由如下：
BE與DH的延長線交于G點，如圖，
∵DH∥AC，
∴∠BDH=∠C=45°，
∴△HBD為等腰直角三角形
∴HB=HD，
而∠EBF=22.5°，
∵∠EDB=∠C=22.5°，
∴DE平分∠BDG，
而DE⊥BG，
∴BE=GE，即BE=BG，
∵∠DFH+∠FDH=∠G+∠FDH=90°，
∴∠DFH=∠G，
∵∠GBH=90°-∠G，∠FDH=90°-∠G，
∴∠GBH=∠FDH
在△BGH和△DFH中，
，
∴△BGH≌△DFH（AAS），
∴BG=DF，
∴BE=FD．
故答案為22.5°．
分析：（1）作DH⊥AB于H，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得∠ABC=∠C=45°，則∠EDB=∠C=22.5°，所以∠EBD=90°-22.5°=67.5°，然后根據(jù)∠EBF=∠EBD-∠ABC進行計算；
（2）BE與DH的延長線交于G點，由DH∥AC得到∠BDH=45°，則△HBD為等腰直角三角形，于是HB=HD，由∠EBF=22.5°得到DE平分∠BDG，
根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得BE=GE，即BE=BG，然后根據(jù)“AAS”證明△BGH≌△DFH，則BG=DF，所以BE=FD．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應(yīng)邊相等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．