Question

如圖，點(diǎn)D在△ABC的邊BC上，且與B，C不重合，過點(diǎn)D作AC的平行線DE交AB于E，作AB的平行線DF交AC于點(diǎn)F．又知BC=5．
（1）設(shè)△ABC的面積為S．若四邊形AEFD的面積為；求BD長．
（2）若；且DF經(jīng)過△ABC的重心G，求E，F(xiàn)兩點(diǎn)的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題中條件可得△BDE∽△BCA∽△DCF，由相似三角形可得其面積比與對應(yīng)邊長的比的關(guān)系，進(jìn)而再由題中的已知條件，求解其長度即可；
（2）由平行線可得對應(yīng)線段的比，通過線段之間的轉(zhuǎn)化以及角的相等，可得△DEF∽△ABC，由其對應(yīng)邊成比例可得線段EF的長．
解答：解：如圖，

（1）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴△BDE∽△BCA∽△DCF，
記S_△BDE=S₁，S_△DCF=S₂，
∵S_AEFD=S，
∴S₁+S₂=S-S=S．①
=，=，
于是+==1，即+=，
兩邊平方得S=S₁+S₂+2，
故2=S_AEFD=S，即S₁S₂=S²．②
由①、②解得S₁=S，即=．
而=，即=，解得BD===．

（2）由G是△ABC的重心，DF過點(diǎn)G，且DF∥AB，可得=，則DF=AB．
由DE∥AC，=，得DE=AC，
∵AC=AB，∴=，==，
得=，即=，
又∠EDF=∠A，故△DEF∽△ABC，
得=，所以EF=．
點(diǎn)評：本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)以及三角形的重心的一些基本知識，能夠掌握并熟練運(yùn)用．