Question

已知：在一列數(shù)a₁、a₂、…、a₂₀₀₈中，任意相鄰三個數(shù)的和都等于31，a₃=m+n，a₉₈=m-n+2，a₂₀₀₈=3m+n，m、n為實數(shù)，且2a₁-3a₃=11．
（1）請說明a₉₈=a₂，a₂₀₀₈=a₁；
（2）求a₂₀₀₈的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)任意相鄰三個數(shù)的和都相等可得出a_k=a_k+3，將98和2008轉化為3a+b的形式，即可得出結論；
（2）根據(jù)題意得出a₁、a₂的表示形式，然后聯(lián)立方程組求出m和n的值，繼而可得出a₂₀₀₈的值．

解答：解：（1）∵任意相鄰三個數(shù)的和都相等，
∴對于任意正整數(shù)k，都有a_k+a_k+1+a_k+2=a_k+1+a_k+2+a_k+3．
∴a_k=a_k+3．
∵98=3×32+2，2008=3×669+1，
∴a₉₈=a₂，a₂₀₀₈=a₁，

（2）∵a₉₈=m-n+2，a₂₀₀₈=3m+n，
∴a₂=m-n+2，a₁=3m+n．
∵a₁+a₂+a₃=31，2a₁-3a₃=11，a₃=m+n，
∴

5m+n=29 3m-n=11

，
解得：

m=5 n=4

，
故可得a₂₀₀₈=3m+n=19．

點評：此題考查了二元一次方程組的應用，解答本題的關鍵是得出a_k=a_k+3這一規(guī)律式，有一定難度．