Question

如圖，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，BC=4，D是BC中點，將△ABC折疊，使A與D重合．EF為折痕，則DE的長是

5 2

3

．

Answer 1

分析：先根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得到△DEF≌△AEF，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)可得到∠BED=CDF，再根據(jù)勾股定理即可求解，進而得出DE的長．

解答：解：過點D作DM⊥AB于點M，
∵△DEF是△AEF翻折而成，
∴△DEF≌△AEF，∠A=∠EDF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠EDF=45°，由三角形外角性質(zhì)得∠CDF+45°=∠BED+45°，
∴∠BED=∠CDF，
∵BC=4，D是BC中點，
∴CD=2，CF=x，則CA=CB=4，
∴DF=FA=4-x，
∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF²+CD²=DF²，
即x²+4=（4-x）²，
解得x=

3

2

，
∴sin∠BED=sin∠CDF=

FC

FD

=

3 2

4- 3 2

=

3

5

，
∵∠B=45°，∠DMB=90°，BD=2，
∴DM=BM=

2

，
∴sin∠BED=

DM

DE

=

2

DE

=

3

5

，
解得：DE=

5 2

3

，
故答案為：

5 2

3

．

點評：本題考查了翻折變換的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及三角形外角的性質(zhì)．此題涉及面較廣，但難度適中，注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系．