Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三點(diǎn)．

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）E為拋物線上一動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)E使以A、B、E為頂點(diǎn)的三角形與△COB相似？若存在，試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）若將直線BC平移，使其經(jīng)過點(diǎn)A，且與拋物線相交于點(diǎn)D，連接BD，試求出∠BDA的度數(shù)．

 

 

Answer 1

解：（1）∵該拋物線過點(diǎn)C（0，2），

∴可設(shè)該拋物線的解析式為y=ax²+bx+2．

將A（﹣1，0），B（4，0）代入，

得 ，

解得 ，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x²+x+2．

（2）存在．

由圖象可知，以A、B為直角頂點(diǎn)的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的三角形．

在Rt△BOC中，OC=2，OB=4，

∴BC==．

在Rt△BOC中，設(shè)BC邊上的高為h，則×h=×2×4，

∴h=．

∵△BEA∽△COB，設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），

∴=，∴y=±2

將y=2代入拋物線y=﹣x²+x+2，得x1=0，x2=3．

當(dāng)y=﹣2時，不合題意舍去．

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），（3，2）．

（3）如圖2，連結(jié)AC，作DE⊥x軸于點(diǎn)E，作BF⊥AD于點(diǎn)F，

∴∠BED=∠BFD=∠AFB=90°．

設(shè)BC的解析式為y=kx+b，由圖象，得

，

∴，

y_BC=﹣x+2．

由BC∥AD，設(shè)AD的解析式為y=﹣x+n，由圖象，得

0=﹣×（﹣1）+n

∴n=﹣，

y_AD=﹣x﹣．

∴﹣x²+x+2=﹣x﹣，

解得：x₁=﹣1，x₂=5

∴D（﹣1，0）與A重合，舍去，D（5，﹣3）．

∵DE⊥x軸，

∴DE=3，OE=5．

由勾股定理，得BD=．

∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），

∴OA=1，OB=4，OC=2．

∴AB=5

在Rt△AOC中，Rt△BOC中，由勾股定理，得

AC=，BC=2，

∴AC²=5，BC²=20，AB²=25，

∴AC²+BC²=AB²

∴△ACB是直角三角形，

∴∠ACB=90°．

∵BC∥AD，

∴∠CAF+∠ACB=180°，

∴∠CAF=90°．

∴∠CAF=∠ACB=∠AFB=90°，

∴四邊形ACBF是矩形，

∴AC=BF=，

在Rt△BFD中，由勾股定理，得DF=，

∴DF=BF，

∴∠ADB=45°．