Question

【題目】如圖，在ABCD中，AD=2AB，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，作，垂足E在線段AB上，連接EF、CF，則下列結(jié)論中一定成立的是（ ）

① ②EF=CF

③ ④

A. ①②③ B. ①② C. ②③ ④ D. ①②④

Answer 1

【答案】D

【解析】分析：分別利用平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)得出△AEF≌△DMF（ASA），得出對(duì)應(yīng)線段之間關(guān)系進(jìn)而得出答案．

詳解：①∵F是AD的中點(diǎn)， ∴AF=FD， ∵在ABCD中，AD=2AB， ∴AF=FD=CD，

∴∠DFC=∠DCF， ∵AD∥BC， ∴∠DFC=∠FCB， ∴∠DCF=∠BCF，

∴∠DCF=∠BCD，故此選項(xiàng)正確；

延長(zhǎng)EF，交CD延長(zhǎng)線于M， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥CD，

∴∠A=∠MDF， ∵F為AD中點(diǎn)， ∴AF=FD， ∴△AEF≌△DMF（ASA），

∴FE=MF，∠AEF=∠M， ∵CE⊥AB， ∴∠AEC=90°， ∴∠AEC=∠ECD=90°，

∵FM=EF， ∴FC=FM，故②正確；

③∵EF=FM， ∴S△EFC=S△CFM， ∵M(jìn)C＞BE， ∴S△BEC＜2S△EFC，故③錯(cuò)誤；

④設(shè)∠FEC=x，則∠FCE=x， ∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x， ∴∠EFC=180°﹣2x，

∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x， ∵∠AEF=90°﹣x，

∴∠DFE=3∠AEF，故此選項(xiàng)正確， 故答案為：①②④，故選D．