(2004•濰坊)附加題:如圖△ABC中,D為AC上一點,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,連接AE.
(1)寫出圖中所有相等的線段,并加以證明;
(2)圖中有無相似三角形?若有,請寫出一對;若沒有,請說明理由;
(3)求△BEC與△BEA的面積之比.

【答案】分析:(1)根據(jù)直角三角形中30度角所對的直角邊是斜邊的一半,可知CD=2ED,則可寫出相等的線段;
(2)兩角對應相等的兩個三角形相似則可判斷△ADE∽△AEC;
(3)要求△BEC與△BEA的面積之比,從圖中可看出兩三角形有一公共邊可作為底邊,若求得高之比可知面積之比,由此需作△BEA的邊BE邊上的高即可求解.
解答:解:(1)在Rt△CED中,∠BDC=60°,
∴DE=,
∴DE=AD,
∴∠DAE=∠DEA=30°,
又∵∠ECA=90°-∠BDC=30°,
∴CE=AE,
∵∠EAB=45-30=15°,∠AEB=360-180-30=150°,
∴∠ABE=180°-150°-15°=15°,
∴BE=AE=CE.

(2)圖中有三角形相似,△ADE∽△AEC;
∵∠CAE=∠CAE,∠ADE=∠AEC,
∴△ADE∽△AEC;

(3)作AF⊥BD的延長線于F,
設AD=DE=x,在Rt△CED中,
可得CE=,故AE=
∠ECD=30°.
在Rt△AEF中,AE=,∠AED=∠DAE=30°,
∴sin∠AEF=,
∴AF=AE•sin∠AEF=

點評:本題主要考查了直角三角形的性質(zhì),相似三角形的判定及三角形面積的求法等,范圍較廣.
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(3)求△BEC與△BEA的面積之比.

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(3)求△BEC與△BEA的面積之比.

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(3)求△BEC與△BEA的面積之比.

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(2)圖中有無相似三角形?若有,請寫出一對;若沒有,請說明理由;
(3)求△BEC與△BEA的面積之比.

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