Question

如圖，點、、、在同一直線上，點和點分別在直線的兩側，且，，.

（1）求證：四邊形是平行四邊形;

（2）若，，，

當為何值時，四邊形是菱形.

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理；平行四邊形的判定；菱形的判定。

解答：（1）證明：∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF．

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌DEF（SAS），

∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，∴BC∥EF，

∴四邊形BCEF是平行四邊形．

（2）解：連接BE，交CF與點G，

∵四邊形BCEF是平行四邊形，

∴當BE⊥CF時，四邊形BCEF是菱形，

∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，

∴AC==5，

∵∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG，

∴△ABC∽△BGC，

∴=，即=，∴CG=，

∵FG=CG，∴FC=2CG=，

∴AF=AC﹣FC=5﹣=，

∴當AF=時，四邊形BCEF是菱形．