Question

9、如圖，⊙O是△ABC的邊BC外的旁切圓，D、E、F分別為⊙O與BC、CA、AB的切點(diǎn)．若OD與EF相交于K，求證：AK平分BC．

Answer 1

分析：過(guò)點(diǎn)K作BC的平行線分別交直線AB、AC于Q、P兩點(diǎn)，連OP、OQ、OE、OF，由平行線的性質(zhì)可知OK⊥PQ，O、K、F、Q四點(diǎn)共圓，同理可得O、K、P、E四點(diǎn)共圓，由全等三角形的判定定理可知Rt△OFQ≌Rt△OEP，故可得出結(jié)論．

解答：解：證明：如圖，過(guò)點(diǎn)K作BC的平行線分別交直線AB、AC于Q、P兩點(diǎn)，連OP、OQ、OE、OF．
由OD⊥BC，可知OK⊥PQ．
由OF⊥AB，可知O、K、F、Q四點(diǎn)共圓，有∠FOQ=∠FKQ．
由OE⊥AC，可知O、K、P、E四點(diǎn)共圓，有∠EOP=∠EKP．
顯然，∠FKQ=∠EKP，可知∠FOQ=∠EOP．
由OF=OE，可知Rt△OFQ≌Rt△OEP，則OQ=OP．
于是，OK為PQ的中垂線，故QK=KP．
所以，AK平分BC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是四點(diǎn)共圓的條件，解答此類題目時(shí)應(yīng)注意適時(shí)添加平行線，讓平行線在平面幾何證題中發(fā)揮應(yīng)有的作用．